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1.4 二次函数与一元二次方程的联系教学目标（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数与一元二次方程之间的关系重、难点二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决教学过程设计给出三个二次函数（1）；（2）；（3）它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解实践与探索例1画出函数的图象，根据图象回答下列问题（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么（2）当x取何值时，y0这里x的取值与方程有什么关系（3）x取什么值时，函数值y大于0x取什么值时，函数值y小于0解 图象如下图， （1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）（2）当x -1或x3时，y0，x的取值与方程的解相同（3）当x-1或x3时，y0；当 -1x3时，y0例2（1）已知抛物线，当k 时，抛物线与x轴相交于两点（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a （3）已知抛物线与x轴交于两点A（，0），B（，0），且，则k的值是 分析 （1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式0（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即0（3）已知抛物线与x轴交于两点A（，0），B（，0），即、是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果例3已知二次函数，（1）试说明不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即0（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件0，，综合以上条件，可解得所求m的值的范围（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件0，解（1），由，得，所以0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点（2）由，得；由，得；又由（1），0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧（3）由，得m2，因此，当m2时，二次函数的图象的对称轴是y轴探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢请你根据它入手解本题课堂练习1已知二次函数的图象如图，则方程的解是 ，不等式的解集是 ，不等式的解集是 2抛物线与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 3已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 4函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标课堂小结 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集本课课外作业A组1已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题（1）方程的解是什么（2）x取什么值时，函数值大于0x取什么值时，函数值小于02如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值3不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围4已知二次函数，求（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； （2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积； （3）x为何值时，y05你能否画出适当的函数图象，求方程的解B组6函数（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ）A0个 B1个 C2个 D1个或2个7已知二次函数（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；（3）a取何值时，两点间的距离最小
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