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2.4过不共线三点作圆一、选择题1已知O为ABC的外心，若A80，则BOC的度数为A40 B80 C120 D1602下列说法错误的是A三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心3下列命题中正确的有过两点可以作无数个圆；经过三点一定可以作圆；任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆；任意一个圆有且只有一个内接三角形A1个 B2个 C3个 D4个4若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定5小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为A2 cm B4 cm C6 cm D8 cm6A，B，C为平面上的三点，AB2，BC3，AC5，则A可以画一个圆，使点A，B，C都在圆周上B. 可以画一个圆，使点A，B在圆周上，点C在圆内C. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆外D. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆内72017仙桃如图K151所示，坐标平面上有A0，a，B9，0，C10，0三点，其中a0，若BAC100，则ABC的外心在图K151A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限二、填空题8在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在ABC的三条________线的交点最适当. 9若AB4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有________个10由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆11已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________12如图K152，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，直线EF与AD相交于点O，若OA2，则ABC的外接圆的面积为________图K152132017宁夏如图K153，点A，B，C均在66的正方形网格格点上，过点A，B，C的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________图K153三、解答题14某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图K154所示，那么运动员公寓应建立在何处请你作出图形并加以说明图K15415如图K155所示，等腰三角形ABC的顶角A120，BC12 cm，求它的外接圆的直径 图K155162017临沂如图K156，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E.1求证DEDB；2若BAC90，BD4，求ABC外接圆的半径图K15617如图K157，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB交于点F，且CAD60，DCDE.求证1ABAF；2点A为BEF的外心即BEF外接圆的圆心图K157素养提升联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心例已知PAPB，则点P为ABC的准外心如图K1581如图，CD为等边三角形ABC的边AB上的高，准外心P在高CD上，且PDAB，求APB的度数；2如图，若ABC为直角三角形，C90，AB13，BC5，准外心P在AC边上，试求PA的长图K158参考答案1解析 DO为ABC的外心，A80，BOC2A160.故选D.2解析 B三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等3解析 B正确，缺少“不在同一直线上的三点”的条件，任意一个圆有无数个内接三角形4B5.B6解析 DA，B，C是平面上的三点，AB2，BC3，AC5，ABBCAC，可以画一个圆，使点A，C在圆上，点B在圆内7解析 DB9，0，C10，0，ABC的外心在直线x上BAC100，ABC的外心在三角形的外部，ABC的外心在第四象限8垂直平分9答案 2解析 这样的圆能画2个如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3 cm为半径作圆，则O1和O2为所求圆10511答案 0.5解析 如图，连接OC.ABC是圆的内接正三角形，OCD30.又ODBC，OC1，ODOC0.5.12答案 4解析 ABAC，AD是BC边上的中线，AD垂直平分BC.分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，EF垂直平分AC.直线EF与AD相交于点O，点O为ABC外接圆的圆心，AO为ABC外接圆的半径，ABC的外接圆的面积为4.13答案 5解析 如图，分别作AB，AC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA长为半径作圆，则O即为过A，B，C三点的圆由图可知，O还经过点D，E，F，G，H这5个格点故答案为5.14解连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线MN，FD，交点G即为运动员公寓所建立的位置图略15解如图，过点A作直径AD，交BC于点E，连接OC.ABAC，，AD垂直平分BC，ECBC6 cm.BAC120，OAC60.又OAOC，OAC为等边三角形，AOC60.在RtOEC中，sinEOC，OC4 cm，它的外接圆的直径为8 cm.16解1证明BE平分ABC，AD平分BAC，ABECBE，BAECAD，，DBCBAE.DBECBEDBC，DEBABEBAE，DBEDEB，DEDB.2连接CD，如图所示由1得，CDBD4.BAC90，BC是直径，BDC90，BC4 ，ABC外接圆的半径4 2 .17证明1因为DCDE，所以DECACD，则ABFADC120ACD120DEC12060ADE60ADE，而F60ACF.因为ACFADE，所以ABFF，所以ABAF.2四边形ABCD内接于O，所以ABDACD.又DEDC，所以ACDDECAEB，所以ABDAEB，所以ABAE.又因为ABAF，所以ABAFAE，即点A是BEF的外心素养提升解1若PBPC，连接PB，则PCBPBC.CD为等边三角形ABC的高，ADBD，PCB30，PBDPBC30，PDDBAB.与已知PDAB矛盾，PBPC.若PAPC，连接PA，则PCAPAC.CD为等边三角形ABC的高，ADBD，PCA30，PADPAC30，PDDAAB.与已知PDAB矛盾，PAPC.若PAPB，由PDAB，得PDBD，BPD45，故APB90.2若PBPA，设PAx.C90，AB13，BC5，AC12，则CP12x，x212x252，解得x，即PA.若PAPC，则PA6.若PCPB，由图知，在RtPBC中，不可能存在此种情况综上所述，PA或PA6.
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