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教学课件数学九年级下册沪科版第24章圆24.6正多边形与圆情境导入1.正多边形的定义各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.情境导入如图24-56，点ABCDE把圆分成5等份，求证依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.图24-56知识精讲证明1）ABBCCDDEEA，ABBCCDDEEA.3AB，12.同理，得2345.又顶点A，B，C，D，E都在O上，五边形ABCDE是O的内接正五边形.知识精讲（2）连接OA，OB，OC，则OABOBAOBCOCB.TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的O的切线，OAPOBPOBQOCQ.PABPBAQBCQCB.知识精讲又ABBC，ABBC，PAB与QBC是全等的等腰三角形.PQPQ2PA.同理QRST，QRRSSTTP2PA.五边形PQRST的各边都与O相切，五边形PQRST是O的外切正五边形.由上可知，通过等分圆周的方法能作出正多边形.知识精讲1用量角器等分圆周由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先用量角器作一个等于360n的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的1n，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形（正五角星就是这样作出的）.2用尺规等分圆周对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等分圆周.知识精讲正四边形的作法如图24-57（1），用直尺和圆规作O的两条互相垂直的直径，就可以把O分成四等份，从而作出正四边形.我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形如图24-57（2），正十六边形.如图24-58（1），设O的半径为R，通常先作出O的一条直径AB，然后分别以点AB为圆心，R为半径作弧，与O交于点CDEF，从而得到O的6等份点，作出正六边形.如果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形，正二十四边形等.我们可以连续6等份圆周的相间的两个点，得到正三角形，如图24-58（2）.正六边形的作法知识精讲知识精讲如何画一个边长为2cm的正六边形探究OABCDEF1、以2cm为半径作一个O；2、用量角器画一个60的圆心角；3、在圆上顺次截取这个圆心角所对的弧；4、顺次连接分点，即为所求作的正六边形.知识精讲将一个圆n等份，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢我们仍然以正五边形为例来进行探究.2.正多边形的性质如图24-59，过正五边形ABCDE的顶点ABC作O，连接OAOBOCODOE.OBOC，12.又ABCBCD34.ABDCOABODCOAOD即点D在O上，同理，点E也在O上所以正五边形ABCDE有一个外接圆O由于正五边形ABCDE的各边是O中相等的弦，等弦的弦心距相等因此，以点O为圆心，以弦心距OH为半径的圆与正五边形的各边都相切所以正五边形ABCDE还有一个以点O为圆心的内切圆知识精讲1.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上.2.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径3.其他两个顶点到圆心的距离都等于半径4.正五边形的各顶点共圆5.正五边形有外接圆6.圆心到各边的距离相等7.正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离8.照此法证明，正六边形、正七边形、正n边形都有一个外接圆和内切圆定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆归纳知识精讲知识精讲我们把一个正多边形的外接圆或内切圆的公共圆心圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角正n边形的每个中心角都等于360n.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图24-60.图24-60知识精讲如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.例求边长为a的正六边形的周长和面积.合作与交流解如图24-61，过正六边形的中心O作OGBC于点G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S.图24-61多边形ABCDEF是正六边形，BOC60，BOC是等边三角形，C6BC6a.在BOC中，有巩固提高1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的____2、正方形ABCD的内切圆O的半径OE叫做正方形ABCD的______3、若正六边形的边长为1，则正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等1、正n边形的一个内角的度数是中心角是_________、正多边形的中心角与外角的大小关系是________.相等3、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_______.4、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的_________.中心边心距.OO小结
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