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北京 八年级 上册 亲爱的同学，祝贺你走进八年级 七年级的数学学习使我们经历了许许多多 体验了“数的扩张”过程从正数到有理数，学会了使用字 母来表示任何数，能够应用一元一次方程的模型解决许多现实的 问题， 探究过许多变量之间的关系， 尝试预测一些变量的变化趋势； 认识了许多新的图形，掌握了三角形全等的意义，了解了对称 的基本性质，并且能够运用这些知识解决问题、设计精美的图案 ； 能与身边的数据“对话”从数据中获得信息，用数据表达 信息 ； 能从数学的角度看待不确定事件 ； 在这本书里，我们将学习更多的数学 再经历一次“数的扩张”从有理数到实数，掌握一次函数 的基本性质，认识二元一次方程组的模型，并应用它们解决许多 现实和有趣的问题 ； 学习勾股定理，掌握确定位置的基本方法，并应用它们设计美 丽的图案，解决现实的问题 ； 学会用不同的“数”来刻画一组数据的“平均水平”和“波动 水平” ； 数学有意思吗你愿意学好数学吗如果你对数学感兴趣，不 妨去看看书中的“读一读”吧 . 事实上，对数学了解得越多，就越 能体会到她的意义与趣味 . 走进数学新天地 学数学不能只是模仿与记忆，也不能只是动手做一做，与别人议一议，它 更需要思考与表达、猜测与推理、交流与反思 . 思考和交流是有效地学习数学的好方法 . 欢迎你经常与我们交流你的学习 心得和智慧 . 我们的联系方式 北京师范大学出版社基础教育分社（100875） ， 01058802832,58802795. 愿数学伴着你成长 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 ....................... 2 2 能得到直角三角形吗 ................. 9 3 蚂蚁怎样走最近 .................... 13 回顾与思考 ........................... 15 复习题 ............................... 15 第二章 实数 1 数不够用了 ........................ 20 2 平方根 ............................ 25 3 立方根 ............................ 29 4 公园有多宽 ........................ 32 5 用计算器开方 ...................... 35 6 实数 .............................. 37 7 二次根式 .......................... 41 回顾与思考 ........................... 47 复习题 ............................... 47 目 录 MULU 第 一 章 勾股定理 勾股定理历史悠久 古巴比伦、古代中国 、古希腊等文明古国 都很早发现 了这一定理，很多具有古老文化的民族都会说我们首先认识的数学定理是勾 股定理 正 因 为 勾 股 定 理 历 史 悠 久 ， 反 映 勾 股 定 理 内 容 的 图 形 形 象 直 观 （ 如 图 ） ， 数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号 让我们一起探究这一古老定理吧 学 习 目 标 感受到勾股定理的悠久历史和证法的多样性 体会到探究勾股定理的困难和探究成功的喜悦 会用勾股定理或逆定理解决简单的问题 第 二 章 实数 古 希 腊 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 认 为 世 间 万 物 都 可 以 用 整 数 或 整 数 之 比 来 表 示 你认为这个断言正确吗 你 能 求 出 面 积 为 2 的 正 方 形 的 边 长 吗 你 知 道 圆 周 率 的 精 确 值 吗 它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗 随着人类对数的认识 的不断加深和发展， 人们发现，现实世界 中确实存在 不 同 于 有 理 数 的 数 本 章 我 们 将 学 习 无 理 数 、 实 数 、 平 方 根 、 立 方 根 等 概 念 ， 学 习 利 用 估 算 或 借 助 计 算 器 求 出 一 个 无 理 数 的 近 似 值 ， 并 解 决 有 关 实 际 问 题 学 习 目 标 认识到引入新的数的必要性 在学习实数的有关概念和运算法则时，感受类比的思想 能进行实数运算和简单的根式化简，解决简单的问题 根据实际要求选择恰当的方法，估计实数的大小 1 第三章 位置与坐标 1 确定位置 .......................... 52 2 平面直角坐标系 .................... 56 3 坐标与轴对称 ...................... 67 回顾与思考 ........................... 70 复习题 ............................... 70 第四章 一次函数 1 函数 .............................. 74 2 一次函数 .......................... 78 3 一次函数的图象 .................... 82 4 确定一次函数表达式 ................ 88 5 一次函数的应用 .................... 90 回顾与思考 ........................... 97 复习题 ............................... 97 第 三 章 位置与坐标 生活中我们常常需要 确定物体的位置如 ，确定学校、家庭的 位置，确定 地图上城市的位置，在棋盘上确定棋子的位置，在海战中确定舰艇的位置 确定位置有很多种方 式，本章我们将了解 确定位置的一些基本 方法，认识 平 面 直 角 坐 标 系 ， 感 受 成 轴 对 称 的 两 个 图 形 坐 标 之 间 的 关 系. 学 习 目 标 感 受 到 丰 富 多 彩 的 确 定 位 置 的 方 法 ， 形 成 一 定 的 空 间想象能力 认 识 平 面 直 角 坐 标 系 ， 并 借 助 平 面 直 角 坐 标 系 来 确 定物体的位置，形成数形结合的意识 体会图形坐标的变化与轴对称图形变化之间的关系 第 四 章 一次函数 生 活 中 充 满 着 许 许 多 多 变 化 的 量 ， 你 了 解 这 些 变 量 之 间 的 关 系 吗 如 弹 簧 的 长 度 与 所 挂 物 体 的 质 量 ， 步 行 时 所 走 的 路 程 与 所 用 的 时 间 了 解 这 些 关 系 ， 可 以 帮 助 我 们 更 好 地 认 识 世 界 函数是刻画变量之间 关系的常用模型，其 中最为简单的是一次 函数什么 是一次函数它对应的图象有什么特征用一次函数可以解决现实生活中的哪 些问题你想了解这些吗一起来看一看 学 习 目 标 “发现”一些生活中的函数 从 “ 数 ” “ 形 ” 两 个 角 度 认 识 一 次 函 数 ， 并 形 成 一定的数形结合的意识 会用一次函数解决一些简单的实际问题 2 第五章 二元一次方程组 1 谁的包裹多 ....................... 103 2 解二元一次方程组 ................. 108 3 鸡兔同笼 ......................... 115 4 增收节支 ......................... 117 5 里程碑上的数 ..................... 120 6 二元一次方程与一次函数 ........... 123 7 三元一次方程组 .................. 128 回顾与思考 .......................... 131 复习题 .............................. 131 第六章 数据的分析 1 平均数 ........................... 135 2 中位数与众数 ..................... 141 3 从统计图估计数据的代表 ........... 144 4 数据的波动 ....................... 147 回顾与思考 .......................... 155 复习题 .............................. 155 第 五 章 二元一次方程组 今 有 鸡 兔 同 笼 上 有 三 十 五 头 下 有 九 十 四 足 问 鸡 兔 各 几 何 你 能 解 决 上 面 的 “ 鸡 兔 同 笼 ” 问 题 吗 事实上，利用方程（ 组）可以很简单地解 决这一问题方程（ 组）是刻画 现 实 世 界 中 的 等 量 关 系 的 有 效 模 型 ， 许 多 现 实 问 题 都 可 归 结 为 方 程 问 题 本章将学习二元一次 方程组及其解法，并 利用二元一次方程组 解决一些有 趣 的 现 实 问 题 学 习 目 标 感受二元一次方程组是刻画现实生活中的有效模型 会解二元一次方程组，体会“消元”思想 能应用二元一次方程组解决现实生活中的实际问题 感觉二元一次方程组和一次函数的关系 第六章 数据的分析 生 活 中 ， 人 们 离 不 开 数 据 ， 我 们 不 仅 要 收 集 、 整 理 和 表 示 数 据 ， 还 需 要 对 数 据 进 行 分 析 ， 进 而 帮 助 我 们 更 好 地 作 出判断. 甲 、 乙 、 丙 三 人 的 射 击 成 绩 如 图 所 示 ， 谁 的 成 绩 更 好 ， 谁 更 稳 定 你 是 怎 么 判 断 的 除 了 直 观 感 觉 外 ， 我 们 如 何 用 量 化 的 数 据 来 刻 画 “ 更 好 ” “ 更 稳 定 ” 呢 类 似 地 ， 在 生 活 中 我 们 还 常 听 到 “ 小 亮 的 身 高 在 班 上 是 中 等 偏 上 的 ” “A 篮 球 队 队 员 比 B 队 更 年 轻 ” 你 思 考过这些话的含义吗你知道人们是如何作出这一判断的吗 数学上，我 们常借助平 均数、中位 数、众数、 方差等来对 数据进行分 析和 刻画. 环数 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 次数 甲 乙 丙 学 习 目 标 经历数据收集、整理、分析等活动过程，形成用数据说话的习惯 能根据实际需要，选择恰当的方法分析数据、解决问题 会 计 算 一 组 数 据 的 平 均 数 、 中 位 数 、 众 数 、 方 差 等 ， 在 实 际 背 景 中体会它们的含义 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 杂工G 3 第七章 证明（一） 1 你能肯定吗 ....................... 160 2 定义与命题 ....................... 163 3 直线平行的判定 ................... 170 4 平行线的性质 ..................... 173 5 三角形内角和定理 ................. 176 回顾与思考 .......................... 182 复习题 .............................. 182 综合与实践 计算器运用与功能探索 ............ 186 综合与实践 哪一款“套餐”更合适 .......... 187 综合与实践 哪个城市是真正的“火炉” ....... 189 总复习 .............................. 191 第七章 证明（一） 通 过 观 察 、 度 量 、 猜 测 得 到 的 结 论 都 是 正 确 的 吗 如 果 不 是 ， 那 么 用 什 么 方 法 才 能 说 明 它 的 正 确 性 呢 根 据 “ 同 位 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 ” “ 过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 条 直 线 平 行 ” 你 还 能 得 到 哪 些 熟 悉 的 结 论 你 能 肯 定 它 们 都 是 正 确 的 吗 本 章 我 们 将 一 起 学 习 如 何 根 据 一 些 基 本 事 实 推 出 其 他 结 论 的 过 程 ， 并 将 对 三 角 形 的 内 角 和 进 行 研 究 ， 同 时 ， 我 们 还 将 探 讨 三 角 形 的 内 角 与 外 角 的 关 系 学 习 目 标 知道通过探索得到的结论不一定正确 知道证明要有出发点，要步步有据 会证明平行线和三角形的有关结论 4 第 一 章 勾股定理 勾股定理历史悠 久古巴比伦、古 代中国、古希腊 等文明古国都很早 发现 了这一定理，很多具有古老文化的民族都会说我们首先认识的数学定理是勾 股定理 正 因 为 勾 股 定 理 历 史 悠 久 ， 反 映 勾 股 定 理 内 容 的 图 形 形 象 直 观 （ 如 图 ） ， 数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号 让我们一起探究这一古老定理吧 学 习 目 标 感受到勾股定理的悠久历史和证法的多样性 体会到探究勾股定理的困难和探究成功的喜悦 会用勾股定理或逆定理解决简单的问题 2 1 探索勾股定理 如 图 1-1 ， 从 电 线 杆 离 地 面 8 m 处 向 地 面 拉 一 条 钢 索 ， 若 这 条 钢 索 在 地 面 的 固 定 点 距 离 电 线 杆 底 部 6 m，那么需要多长的钢索 在 直 角 三 角 形 中 ， 任 意 两 条 边 确 定 了 ， 另 外 一 条 边 也 就 随 之 确 定 ， 三 边 之 间 存 在 着 一 个 特 定 的 数 量 关 系. 事 实 上 ， 古 人 发 现 ， 直 角 三 角 形 的 三 条 边 长 度 的 平 方 存 在 一 个 特 殊 的 关 系. 让 我 们 一 起 去 探 索吧 做一做 （1）在纸上作出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长 的平方之间有怎样的关系与同伴交流. （2 ） 如 图 1-2 ， 直 角 三 角 形 三 边 的 平 方 分 别 是 多 少 ， 它 们 满 足 上 面 所 猜 想 的 数 量 关 系 吗 你 是 如 何 计 算 的 与 同 伴 交 流. 对 于 图 1-3 中 的 直 角 三 角 形 ， 是 否 还 满 足 这 样 的 关 系 你 又 是 如 何 计 算 的 呢 （3） 如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位长度， 上面所猜想的数量关系还成立吗说明你的理由 图 1-1 图 1-2 A C B A C B 图 1-3 A C B A C B 3 第一章 勾股定理 通过上面的活动 ，同学们一定已经 发现直角三角 形两直角边的平方 和等 于斜边的平方我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边 称为股，斜边称为弦因此，我国称上面的结论为勾股定理 勾股定理 1 （gou-gu theorem） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用 a ，b 和 c 分 别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2 b 2 c 2 想一想 在图 1-1 的问题中，需要多长的钢索 随堂练习 1 求下图中字母所代表的正方形的面积 2 小 明 妈 妈 买 了 一 部 29 in 2 （74 cm ） 的 电 视 机 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有 58 cm 长 和 46 cm 宽 ， 他 觉 得 一 定 是 售 货员搞错了 你同意他的想法吗你能解释 这是为什么吗 1 勾 股 定 理 在 西 方 文 献 中 又 称 为 毕 达 哥 拉 斯 定 理 （Pythagoras theorem ） 2 in 表 示 英 寸 ， 1 in 25.4 mm （ 准 确 值 ） . （第 1 题） 225 400 A 81 225 B 4 数学 八年级 上册 习题 1.1 知识技能 1 求出下列直角三角形中未知边的长度 2 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角形的面积. 数学理解 3 如 图 ， 所 有 的 四 边 形 都 是 正 方 形 ， 所 有 的 三 角 形 都 是 直 角 三 角 形 ， 请 在 图 中 找 出 若 干 个 图 形 ， 使 得 它 们 的 面 积 之 和 恰 好 等 于 最 大 的 正 方 形 面 积 ， 尝 试 给 出 两 种 以 上 的 方 案. 问题解决 4 如图，求等腰三角形 ABC 的面积. 上 一 节 课 ， 我 们 通 过 测 量 和 数 格 子 的 方 法 发 现 了勾股定理. 对图 1-4 中的直角三角形，你能验证 勾股定理吗你是如何做的与同伴交流. （第 1 题） 5 y 13 8 6 x （第 3 题） （第 4 题） 6 cm 5 cm 5 cm C A B a b c 图 1-4 5 第一章 勾股定理 做一做 为 了 计 算 图 1-4 中 大 正 方 形 的 面 积 ， 小 明 对 这 个 大 正 方 形 适 当 割 补 后 ， 得到图 1-5，图 1-6. （1）将所有三角形和正方形的面积用 a ，b ，c 的关系式表示出来； （2 ） 图 1-5 ， 图1-6 中 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 多 少 你 们 有 哪 些 表 示 方 式，与同伴交流. （3）你能利用图 1-5，图1-6 验证勾股定理吗 用 图 1-6 验 证 勾 股 定 理 的 方 法 ， 据 载 最 早 是 由 三 国 时 期 数 学 家 赵 爽 在 为 周 髀 算 经 作 注 时 给 出 的. 我 国 历 史 上 将 图 1-6 中 弦 上 的 正 方 形 称 为 弦 图 （图 1-7）. 图 1-7 图 1-8 2002 年 世 界 数 学 家 大 会 （ICM-2002 ） 在 北 京 召 开 ， 这 届 大 会 会 标 （ 图 1-8 ） 的 中 央 图 案 正 是 经 过 艺 术 处 理 的 “ 弦 图 ” ， 它 既 标 志 着 中 国 古 代 的 数 学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们 我方侦察员小王在距离东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车 在 公 路 上 疾 驶 他 赶 紧 拿 出 红 外 测 距 仪 ， 测 得 汽 车 与 他 相 距 400 m ，10 s 后 ， 汽车与他相距 500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗 例 a b c 图 1-5 图 1-6 b a c A A B C D D B C 6 数学 八年级 上册 分析根 据 题 意 ， 可 以 画 出 图 1-9 ， 其 中 点 A 表 示 小 王 所 在 位 置 ， 点 C ， 点 B 表 示 两 个 时 刻 敌 方 汽 车 的 位 置. 由 于 小 王 距 离 公 路 400 m, 因 此 C 是 直 角 ， 那 么 就 可以由勾股定理来解决这个问题了 解 由 勾 股 定 理 ， 可 以 得 到 AB 2 BC 2 AC 2 ， 也 就是 500 2 BC 2 400 2 ，所以 BC 300. 敌方汽车 10 s 行驶了 300 m ，那么它 1 h 行驶的距离 为 300 6 60 108 000 （m ） ， 即 它 行 驶 的 速 度 为108 km / h. 议一议 观察图 1-10，判断图中三角形的三边长是否满足 a 2 b 2 c 2 随堂练习 如 图 是 某 沿 江 地 区 交 通 平 面 图 ， 为 了 加 快 经 济 发 展 ， 该 地 区 拟 修 建一条连接 M ，O ，Q 三城市的沿 江 高 速 ， 已 知 沿 江 高 速 的 建 设 成 本 是 5 000 万 元/km ， 该 沿 江 高 速 的造价预计是多少 30 km M O P Q N 40 km 50 km 120 km 图 1-9 A C B 公路 400 m 500 m b a c b a c 图 1-10 7 第一章 勾股定理 习题 1.2 知识技能 1 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 3 m 处折断倒下，旗 杆顶部落在离旗杆底部 4 m 处旗杆折断之前有多高 数学理解 2 1876 年 ， 美 国 总 统 Garfield 利 用 右 图 验 证 了 勾 股 定 理 你 能 利 用 它 验 证 勾 股 定 理 吗 说 一 说 这 个 方 法 和 本 节 的 探 索 方 法 的 联 系. 问题解决 3 如 图 ， 某 隧 道 的 截 面 是 一 个 半 径 为 3.6 m 的 半 圆 形 ， 一 辆 高 2.4 m 、 宽 3 m 的 卡 车 能 通 过 该 隧 道 吗 联系拓广 4 在 一 张 纸 上 复 制 四 个 全 等 的 直 角 三 角 形 ， 通 过 拼 图 的 方 法 验 证 勾 股 定 理. 你 有 哪 些 方 法 并 说 说 你 的 方 法 与 课 堂 上 的 方 法 之 间 有 什 么 联 系 与 差 别. 5 从 网 上 收 集 有 关 勾 股 定 理 的 资 料 ， 撰 写 小 论 文 ， 与 同 学 交 流 （第题） a a b b c c 3.6 m （第 3 题） （第 1 题） 3 m 4 m 读一读 勾股世界 我 国 是 最 早 了 解 勾 股 定 理 的 国 家 之 一 早 在 三 千 多 年 前 ， 周 朝 数 学 家 商 高 就 提 出 ， 将 一 根 直 尺 折 成 一 个 直 角 ， 如 果 勾 等 于 三 、 股 等 于 四 ， 那 么 弦 就 等 于 五 ， 即 “ 勾 三 、 股 四 、 弦 五 ” 它 被 记 载 于 我 国 古 代 著 名 的 数 学 著作周髀算经 中.在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式. 1945 年 ， 人 们 在 研 究 古 巴 比 伦 人 遗 留 下 的 一 块 数 学 泥 板 时 ， 惊 讶 地 发 现 上 面 竟 然 刻 有 15 组 能 构 成 直 角 三 角 形 三 边 的 数 ， 其 年 代 远 在 商 高 之 前 8 数学 八年级 上册 相 传 两 千 多 年 前 ， 希 腊 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 首 先 证 明 了 勾 股 定 理 ， 因 此 在 国 外 人 们 通 常 称 勾 股 定 理 为 毕 达哥 拉斯 定理 为 了纪 念毕 达哥 拉斯 学派 ，1955 年希 腊曾经发行了一枚纪念邮票，如右图所示 事 实 上 ， 勾 股 定 理 的 证 明 方 法 十 分 丰 富 ， 达 数 百 种 之 多 其 中 ， 一 种 方 法 尤 为 独 特 ， 单 靠 移 动 几 块 图 形 就 直 观 地 证 出 了 勾 股 定 理 ， 被 誉 为 “ 无 字 的 证 明 ” ， 我们欣赏几个 意大利著名画家达 芬奇的方法 A B C D E F O a b A B C D E F 剪 开 右边部分 上下翻转 a b 青方 朱入 青入 朱方 朱出 青出 青出 青入 c 中国的“青朱出入图” 古印度的“无字证明” 9 2 能得到直角三角形吗 图 1-12 C 13 D B 3 5 4 A 12 图 1-11 D A B C 如 果 三 角 形 的 三 边 长 a ，b ， c 满 足 a 2 b 2 c 2 ， 那 么 这 个 三 角形是直角三角形. 可 以 取 几 个 满 足 条 件 的 数试试 满 足 a 2 b 2 c 2 的 三 个 正 整 数 ， 称 为 勾股数 在 一 个 直 角 三 角 形 中 ， 两 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方 反 过 来 ， 如 果 一 个 三 角 形 中 有 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方 ， 那 么 这 个 三 角 形 是直角三角形吗 做一做 下 面 的 每 组 数 分 别 是 一 个 三 角 形 的 三 边 长 a ， b ， c, 而 且 都 满 足 a 2 b 2 c 2 3，4，5；5，12，13；8，15，17； 7，24，25 分别以每组数为三 边长作出三角形 ，它们都是直角 三角形吗你是怎 么想 的，与同伴交流 一 个 零 件 的 形 状 如 图 1-11 所 示 ， 按 规 定 这 个 零 件 中 A 和 DBC 都 应 为 直 角 工 人 师 傅 量 得 这 个 零 件 各 边 尺 寸 如 图 1-12 所 示 ， 这 个 零 件 符 合 要 求吗 例 10 数学 八年级 上册 解在 ABD 中 ，AB 2 AD 2 9 16 25 BD 2 ， 所 以 ABD 是 直 角 三角形， A 是直角. 在 BCD 中 ，BD 2 BC 2 25 144 169 CD 2 ， 所 以 BCD 是 直 角 三角形， DBC 是直角. 因此这个零件符合要求. 读一读 勾股数与费马大定理 满 足 a 2 b 2 c 2 的 三 个 正 整 数 ， 称 为 勾 股 数 那 么 勾 股 数 到 底 有 多 少 组 呢 它 们 有 一 定 的 规 律 吗 相 信 通 过 探 索 ， 你 一 定 能 发 现 其 中 的 某 些 规律 事 实 上 ，17 世 纪 的 法 国 数 学 家 费 马 （Pierre de Fermat ，1601-1665 ） 也 研 究 了 勾 股 数 的 问 题 ， 并 思 考 更 一 般 的 问 题 满 足 x n y n z n 的 正 整 数 的 特 征 1637 年 ， 他 提 出 了 数 学 史 上 的 著 名 猜 想 当 n 2 时 ， 找 不 到 任 何 正 整 数 组 ， 使 等 式 x n y n z n 成 立 费 马 猜 想 公 布 以 后 ， 引 起 了 各 国 优 秀 数 学 家 的 关 注 ， 他 们 围 绕 着 这 个 猜 想 顽 强 地 探 索 着 ， 试 图 证 明 它 1995 年 ， 英 籍 数 学 家 怀 尔 斯 （Andrew Wiles ，1953- ） 终 于 证 明 了 这 一 猜 想 ， 解 开 了 这 个 困 惑 世 间 无 数 智 者 300 多 年 的 谜 这 样 ， 它 已 不 再 是 猜 想了，是名副其实的费马大定理. 随堂练习 1 下列几组数能否作为直角三角形的三边长说说你的理由 （1） 9, 12, 15; （2） 12, 18, 22; （3） 12, 35, 36; （4） 15, 36, 39. 2 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ，AB 4 ，AE 2 ，DF 1 ， 图 中有几个直角三角形，你是如何判断的与同伴交流. A B E D C F （第 2 题） 11 第一章 勾股定理 习题 1.3 知识技能 1 如 果 三 条 线 段 a ，b ，c 满 足 a 2 c 2 - b 2 ， 这 三 条 线 段 组 成 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形 吗 为什么 数学理解 2 （1） 如 果 将 直 角 三 角 形 的 三 条 边 长 同 时 扩 大 一 个 相 同 的 倍 数 ， 得 到 的 三 角 形 还 是 直 角 三角形吗 （2） 下 表 中 第 一 列 每 组 数 都 是 勾 股 数 ， 补 全 下 表 ， 这 些 勾 股 数 的 2 倍 、3 倍 、4 倍 、 10 倍还是勾股数吗任意倍呢说说你的理由. 2 倍 3 倍 4 倍 10 倍 3，4，5 6，8，10 ，， ，， ，， 5，12，13 ，， 15，36，39 ，， ，， 8，15，17 ，， ，， 32，60，68 ，， 7，24，25 ，， ，， ，， 70，240，250 3 如 图 ， 哪 些 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ， 哪 些 不 是 说 说 你 的 理 由. 问题解决 4 给 你 一 根 长 绳 子 ， 没 有 其 他 工 具 ， 你 能 方 便 地 得 到 一 个 直 角 吗 （第 3 题） 12 数学 八年级 上册 a 120 3 456 4 800 13 500 72 360 2 700 960 600 6 480 60 2 400 240 2 700 90 b 119 3 367 4 601 12 709 65 319 2 291 799 481 4 961 45 1 679 161 1 771 56 c 169 4 825 6 649 18 541 97 481 3 541 1 249 769 8 161 75 2 929 289 3 229 106 普林顿 322 号（Plimpton 322） 联系拓广 5 美 国 哥 伦 比 亚 大 学 普 林 顿 收 藏 馆 收 藏 了 一 块 很 古 怪 的 泥 板 ， 这 块 泥 板 是 在 巴 比 伦 挖 掘 出 来 的 ， 编 号 322 考 古 学 家 相 信 这 块 泥 板 是 公 元 前 18 世 纪 的 成 品 泥 板 上 有 三 列 文 字 ， 没 有 人 能 解 释 直 至 1945 年 ，Neugebauer 和 Sachs 经 过 细 心 考 究 ， 发 现 泥 板 上 是 三 列 数 字 你 知 道 这 些 数 字 间 的 关 系 吗 借 助 计 算 器 进 行 探 索. 13 3 蚂蚁怎样走最近 如 图 1-13 所 示 ， 有 一 个 圆 柱 ， 它 的 高 等 于 12 cm ， 底 面 上 圆 的 周 长 等 于 18 cm 在 圆 柱 下 底 面 的 点 A 有 一 只 蚂 蚁 ， 它 想 吃 到 上 底 面 上 与 点 A 相 对 的 点 B 处 的 食 物 ， 沿 圆 柱 侧 面 爬行的最短路程是多少 （1 ） 自 己 做 一 个 圆 柱 ， 尝 试 从 点 A 到 点 B 沿 圆 柱 侧 面 画 出 几 条 路 线 ，你觉得哪条路线最短呢 （2 ） 如 图 1-14 所 示 ， 将 圆 柱 侧 面 剪 开 展 成 一 个 长 方 形 ， 从 点 A 到 点 B 的 最短路线是什么你画对了吗 （3 ） 蚂 蚁 从 点 A 出 发 ， 想 吃 到 点 B 上 的 食 物 ， 它 沿 圆 柱 侧 面 爬 行 的 最 短路程是多少 做一做 李 叔 叔 想 要 检 测 雕 塑 底 座 正 面 的 边 AD 和 边 BC 是 否 分别垂直于底边 AB ，但他随身只带了卷尺 （1）你能替他想办法完成任务吗 （2 ） 李 叔 叔 量 得 边 AD 长 是 30 cm ， 边 AB 长 是 40 cm ， 边 BD 长 是 50 cm 边 AD 垂 直 于 边 AB 吗 （3 ） 小 明 随 身 只 有 一 个 长 度 为 20 cm 的 刻 度 尺 ， 他 能 有 办 法 检 验 边 AD 是 否 垂 直 于 边 AB 吗 边 BC 与 边 AB 呢 A B C D 图 1-14 A A B B 图 1-13 A B 随堂练习 甲 、 乙 两 位 探 险 者 到 沙 漠 进 行 探 险 某 日 早 晨 800 甲 先 出 发 ， 他 以 6 km / h 的 速 度 向 正 东 行 走 1 h 后 乙 出 发 ， 他 以 5 km / h 的 速 度 向 正 北 行 走 上 午 10 00 ， 甲 、 乙 二人相距多远 14 数学 八年级 上册 习题 1.4 知识技能 1 如图，带阴影的矩形面积是多少 问题解决 2 如 图 ， 一 座 城 墙 高 11.7 m ， 墙 外 有 一 个 宽 为 9 m 的 护 城 河 ， 那 么 一 个 长 为 15 m 的 云 梯能否到达墙的顶端 3 一 个 无 盖 的 长 方 体 形 盒 子 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 8 cm ，8 cm ，12 cm ， 一 只 蚂 蚁 想 从 盒 底 的 点 A 爬 到 盒 顶 的 点 B ， 你 能 帮 蚂 蚁 设 计 一 条 最 短 的 线 路 吗 蚂 蚁 要 爬 行 的 最 短 行 程 是 多 少 4 在 我 国 古 代 数 学 著 作 九 章 算 术 中 记 载 了 一 道 有 趣 的 问 题 ， 这 个 问 题 的 意 思 是 有 一 个 水 池 ， 水 面 是 一 个 边 长 为 10 尺 1 的 正 方 形 在 水 池 正 中 央 有 一 根 新 生 的 芦 苇 ， 它 高 出 水 面 1 尺 如 果 把 这 根 芦 苇 垂 直 拉 向 岸 边 ， 它 的 顶 端 恰 好 到 达 岸 边 的 水 面 请 问 这 个 水 池 的 深 度 和 这 根 芦 苇 的 长 度 各 是 多 少 5 借 助 勾 股 定 理 ， 利 用 升 旗 的 绳 子 、 卷 尺 ， 请 你 设 计 一 个 方 案 ， 测 算 出 旗 杆 的 高 度. 1 1 尺 1 3 m 0.33 3 m. （第 4 题） （第 1 题） 15 cm 8 cm 3 cm （第 3 题） 12 cm 8 cm 8 cm A B （第 2 题） 15 m 11.7 m 9 m 15 第一章 勾股定理 回顾与思考 1直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系 2举例说明，如何判断一个三角形是否为直角三角形 3请你举一个生活中的实例，并运用勾股定理解决它 4你了解勾股定理的历史吗与同伴进行交流. 复习题 知识技能 1 蚂 蚁 沿 图 中 所 示 的 折 线 由 点 A 爬 到 了 点 D ， 蚂 蚁 一 共 爬 行 了 多 少 厘 米 （ 图 中 小 方 格 的边长代表 1 cm） 2 判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长 （1） 8，15，17； （2） 7，12，15； （3） 12，15，20； （4） 7，24，25. 3 一 艘 帆 船 由 于 风 向 的 原 因 先 向 正 东 方 向 航 行 了 1 6 0 km ， 然 后 向 正 北 方 向 航 行 了 120 km，这时它离出发点有多远 0 5 10 5 15 15 10 20 A D B C （第 1 题） 16 数学 八年级 上册 4 在 右 图 中 ，BC 长 为 3 cm ，AB 长 为 4 cm ，AF 长 为 12 cm 求正方形 CDEF 的面积. 5 小 明 从 家 出 发 向 正 北 方 向 走 了 150 m ， 接 着 向 正 东 方 向 走 到 离家 250 m 远的地方小明向正东方向走了多远 数学理解 6 如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系 7 据传当年毕达哥拉斯借助上面的两个图验证了勾股定理，你能说说其中的道理吗 8 据 说 古 埃 及 人 曾 用 下 面 的 方 法 得 到 直 角 如 图 所 示 ， 他 们 用 13 个 等 距 的 结 把 一 根 绳 子 分 成 等 长 的 12 段 ， 一 个 工 匠 同 时 握 住 绳 子 的 第 1 个 结 和 第 13 个 结 ， 两 个 助 手 分 别 握 住 第 4 个 结 和 第 8 个 结 ， 拉 紧 绳 子 ， 就 会 得 到 一 个 直 角 三 角 形 ， 其 直 角 在 第 4 个 结 处. 你能说说其中的道理吗 9 如图，方格纸上每个小正方形的面积为 1 个单位. （1） 在 方 格 纸 上 ， 以 线 段 AB 为 边 画 正 方 形 并 计 算 所
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