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解直角三角形教学设计一、教材分析解直角三角形是青岛版九年级上册第二章的内容，也是初中数学“图形与变换”领域的一个重要内容。本节主要考查的知识点为锐角三角比、特殊角的三角函数值、解直角三角形及其实际应用，考查学生运用相关知识解决简单实际问题的能力。为此本节复习课采用学生自主学习、教师点拨总结的方式掌握基础知识，然后辅以常考题型加以巩固。直角三角形的边角关系，是现实世界应用广泛的关系之一， 如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到角度、高度、距离的计算问题，这些实际问题中的数量关系往往归结为直角三形中的边角关系，因此本节对发展学生的应用意识及分析问题解决问题的能力有着重要的作用。直角三角形边与角之间的关系要用数量的形式表示出来，因此本节的学习有利于学生进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。非直角三角形通常要转化为直角三角形，因此本节的学习有利于学生进一步感受转化的思想。生活中的实际问题往往要转化成数学问题，建立数学模型，因此本节课的学习也有利于学生进一步感受数学建模的思想。本节是在学生学习了三角形及勾股定理的基础上进行的，通过复习让学生进一步体会数学知识之间的联系，还为进一步学习其它数学知识及高中阶段学习一般性三角函数奠定基础。这一部分内容非常重要，学好这部份内容，直接关系到今后的后续学习。2、 学情分析九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。心理上九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合、转化和数学建模思想，体会锐角三角比的意义，提高应用数学和合作交流的能力。学生已学习过锐角三角比的概念，能够由已知锐角求出三角比的值或由三角比的值求出锐角，并会计算含30度、45度、60度角的三角函数值的问题，但对于应用问题掌握的不熟练，缺乏做题技巧，效率低下。另外缺乏对直角三角形利用边角关系解决现实生活中的实际问题的整体性认识，运用所学知识建立数学模型，综合分析问题、解决问题的能力不足。因此本节课的主要任务是培养自主探索的能力，形成解决问题的基本策略与能力，培养转化、数形结合、数学建模的思想方法，并渗透解直角三角形中基本模型，培养学生运用数学知识解决生活中的实际的能力。三、教学目标知识与技能1掌握锐角三角比的意义，熟记特殊角的三角比并会进行简单计算。2能利用锐角三角比解直角三角形，并能够用相关知识解决一些简单的实际问题。过程与方法通过自主学习、交流展示复习巩固本节知识点，体会数形结合、转化和数学建模思想在解直角三角形中的应用。情感与态度引导学生积极思考，巩固所学知识，形成数学应用意识和推理能力，体会数学与生活的密切联系。四、教学重难点重点熟练掌握解直角三角形的边角关系，能利用锐角三角比解直角三角形，并能够用相关知识解决一些简单的实际问题。难点建立数学模型解决实际问题。五、教学方法讲练结合、问题教学六、教学手段利用多媒体辅助教学七、教学过程 本节课共分三部分内容锐角三角比、解直角三角形、解直角三角形的应用课前发下导学案，学生自主复习本节内容。上课直奔主题，揭示本节课所要复习的内容，并板书题目解直角三角形多媒体展示复习框架图，明确复习重点1、锐角三角比RtABC中，C900, A、B、C的对边分别为a、b、c，则A的正弦可表示为sinA ，A的余弦可表示为cosA A的正切可以表示为tanA ，它们都称为A的锐角三角函数。观察锐角三角比式子，引导学生得出锐角三角比的实质锐角三角比实质是直角三角形中两个边的比，反应的是边与角的关系。通过观察学以致用中锐角三角比3个题共同点得出求锐角三角比的关键求锐角三角比必须放到直角三角形中去。【设计意图】明确锐角三角比的实质及做题关键，帮助学生更好的寻找解题思路。1、 在RtABC中,C90，若AB10，AC8，则2、 在RtABC中，C90，如果，那么sinB的值是 。 3、 在RtABC中，BAC90 ，AC6，BC10，ADBC，则sinBAD 。学生独立完成，然后让一学生叙述自己答案。由于前两题比较简单，学生若无疑问不再进行讲解，对于第3题让学生讲解自己做题思路，最后老师予以总结。【设计意图】考查对锐角三角比的运用，通过第3题的讲解让学生掌握转化的数学思想，掌握做题技巧提高效率。2、 解直角三角形1、 定义由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形。 2、解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 ，当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决。 3、解直角三角形的依据在RtABC中，C900 A，B,C的对边分别为a、b、c，其中除直角C外，其余5个元素之间有以下关系三边关系 两锐角关系 边角之间的关系sinB cosB tanB 【设计意图】明确解直角三角形的定义和依据，为解直角三角形的应用练习提供理论依据和做题技巧。4.如图,在ABC中,已知A60,B45，AC10，则AB 。 5.如图,在ABC中,已知A60,B45，AB10，则AC 。（第4题） （第5题）6.如图,在ABC中,已知A30,C135，AB10，则AC 。7.如图,在ABC中,已知A30,C135，AC10，则AB 。 （第6题） （第7题）独立完成4、5、6、7四个题，独立解决不了的情况下同位或小组之间讨论解决。这四个题都是非直角三角形，考查学生通过构造直角三角形求相应的边、角问题的能力。前两个题是一个类型，后两个题是一个类型（5题是4题的变形，7题是8题的变形）这4个题分别找两个同学在黑板板演讲解，分析自己的解题思路和方法。之后老师根据学生的讲解情况予以总结、归纳。总结1、 在利用解直角三角形的知识求三角形的边或角时，如果是直角三角形我们可以根据所给的边或角依据三边关系、两锐角关系和锐角三角比直接求出相应的边或角；2、 如果是非直角三角形我们可以通过构造直角三角形来求相应的边或角，在构造直角三角形时要注意不破坏特殊角；3、 对于构造的的两个直角三角形如果有某个完整的边已知，可以直接利用解直角三角形的相关知识求相应的边或角，如果两个三角形的边都不知道我们可以通过设未知数来求，设的时候一般设最短边或者公共边，然后再利用解直角三角形的相关知识求解相应的边或角。【设计意图】通过练习，加强学生对于解直角三角形知识的理解与运用，能够通过构造直角三角形求出相应的边和角，为接下来要复习的实际应用提供做题方法和思路。3、解直角三角形的实际应用（1）坡角与坡度如图，坡面AB与水平线l的夹角叫做 ；坡面 AB 的铅直高度 h 与水平宽度 l的比，称为 ，用 i 表示，则i 。（2）仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 ；视线在水平线下方的角叫做 。（3）方位角以观察点为中心，以正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向线所成的锐角，叫做方位角也称为象限角。 表示方向时一般先说 方向，再说 方向。强调坡度问题实质上是正切问题。【设计意图】明确在解直角三角形的实际运用中的考查类型，并结合解直角三角形的相关知识建立数学模型解决生活中的实际问题。【类型一】坡度、坡角问题如图，已知某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD 是 6 米，坝高 24 米，背水坡AB 的坡度为 13，迎水坡 CD 的坡度为 12 则（1）背水坡 AB （2）坝底 BC 【类型二】仰角、俯角问题2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30，B处的俯 角为45，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为 米（结果保留根号）【类型三】方位角问题南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的鱼监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45方向上,A位于B的北偏西30的方向上，求A，C之间的距离为 米。（第6题） （第7题）如图,某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45.已知山坡AB的坡度,AB10米,AE15米,求这块宣传牌CD的高度.学生先进行独立思考完成，独立解决不了的可进行同位或小组之间讨论解决，期间老师进行巡视指导。前三个题较为基础，如果绝大多数同学没问题将不再进行讲解，只强调需要学生注意的细节（1、不要漏加单位2、多项式后面加单位时要把多项式用括号括起来）。最后一题综合性较强，难度较大，根据巡视掌握学生的完成情况，让完成情况良好的同学进行讲解，说明自己的思路和做题方法，最后老师根据情况进行归纳。总结在实际的应用中所给的特殊角并不是都在直角三角形中，要善于根据条件构造直角三角形建立数学模型。虽然生活中的实际应用常以坡角与坡度、仰角与俯角、方位角这三种类型进行考查，但并不是每次都单独考查，要求学生一定要会综合运用。【设计意图】通过练习，明确解直角三角形在生活中的实际应用。提高分析、解决问题的能力，掌握数学建模思想，体会数学与生活的密切联系，增强数学学习的信心与兴趣。课堂小结首先让学生谈谈自己的收获及疑问，然后同学们集体回顾本节重点知识，再次在多媒体展示知识框图。当堂检测1、如图，在ABC 中，ADBC 于 D，如果 AD12，DC5，E 为 AC 的中点， 则 sinEDC 。2、如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是弦，且 CDAB，BC6，AC8，求则sinABD 。 （第1题） （第2题）【设计意图】及时检测学生对于解直角三角形知识的掌握情况，根据掌握情况进行个别辅导并确定后续的练习。课后练如图,某小区号楼与号楼隔河相望,李明家住在号楼,他很想知道号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在B点测得C点的仰角为60,然后到42米高的楼顶A处,测得的仰角为30，请你帮助李明计算号楼的高度CD.【设计意图】由于课上时间有限，学习不仅仅是课上的45分钟，课后的及时复习巩固同样重要。板书设计解直角三角形一、锐角三角比 特殊角的锐角三角比 多媒体展示二、解直角三角形定义知二求三依据两锐角之间三边之间边角之间锐角三角比2、 实际应用坡角与坡度仰角与俯角方向角课后反思本节课的复习任务是掌握直角三角形的边角关系并能灵活运用;会运用解直角三角形的知识，利用已知的边和角，求未知的边和角;能结合坡角与坡度、仰角俯角、方位角等知识，综合运用勾股定理、两锐角关系与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题。我将本节课分三部分进行锐角三角比、解直角三角形、解直角三角形的应用，由浅入深、层层推进，符合学生的认知规律，并且能够帮助学生明确复习侧重点，更好的掌握所学知识。针对每个知识点的复习我都设置了相应的练习，让学生通过练习巩固所学知识，加深对知识的理解并内化。教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者、帮助者。由于是复习课，学生对于该部分内容有一定的基础，在学生选择解直角三角形的诸多方法和解决实际问题的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，教师通过巡视、指导了解学生掌握情况，然后由学生讲解自己的做题思路和方法，在培养学生的语言表达能力上下了功夫。通过学生的讲解可以及时了解学生对于问题的掌握情况，发现学生的易错点并能够有针对性的予以纠正和强调。学生明确自己的不足再去进行强调总结要比老师一味地讲解效果要好。本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。一、课堂语言上有待加强，应该加强书面语言的练习，避免有些口语化的语言，另外语言上有些地方不是太精炼，应加强语言组织能力。二、由于时间安排上的不合理，课堂小结时有些仓促，下一步应在备课时再认真些，合理安排时间。三、板书上不是太规范美观，有待加强。总之，在今后的教学中，我还要加强备课，使每堂课的知识点和时间的分布更加合理，注重语言的组织和板书，在教学时多注重学生的学习方法和对差生的辅导工作。
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