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18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第一课时第二课时人教版数学八年级下册矩形的性质第一课时返回在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.素养目标3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.一个角是直角两组对边分别平行矩形我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形矩形矩形的定义【思考】从图形上看矩形是平行四边形吗若是它们之间有何关系呢有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的定义矩形是特殊的平行四边形具备平行四边形所有的性质.对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形的一般性质矩形的性质矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢ABCD做一做准备素材直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位测量身边的矩形（如书本课桌铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数并记录测量结果.ABCDO物体测量（实物）（形象图）（2）根据测量的结果你有什么猜想猜想1矩形的四个角都是直角.猜想2矩形的对角线相等.求证矩形的四个角都是直角已知如图，四边形ABCD是矩形求证ABCD90证明四边形ABCD是矩形A90又矩形ABCD是平行四边形ACBDAB180ABCD90即矩形的四个角都是直角.已知如图四边形ABCD是矩形求证ACBD证明在矩形ABCD中ABCDCB90又ABDC，BCCBABCDCBSASACBD即矩形的对角线相等.求证矩形的对角线相等矩形特殊的性质矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等从角上看从对角线上看矩形的两条对角线互相平分矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别平行矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等边对角线角数学语言四边形ABCD是矩形ADBC，CDABADBC，CDABACBDAOCO，ODOB矩形的性质ABCD90例1如图在矩形ABCD中两条对角线ACBD相交于点OAOB60AB4求矩形对角线的长.解四边形ABCD是矩形.ACBD，OAOCACOBODBDOAOB.又AOB60OAAB4，ACBD2OA8.ABCDO利用矩形的性质求线段的长矩形的对角线相等且互相平分OAB是等边三角形，1.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.例2将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB8，BC6，求AG的长.解矩形纸片ABCD中，DAB90，ADBCABCD，又ADG沿DG折叠得到ADGADGADGx2428-x2解得x3.设AGx，则BGAB-AG8-x，在RtGAB中，由勾股定理得AB2AG2BG2ADADAGAG，ABAB-AD10-64，利用矩形的性质解答折叠问题2.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD8，AB4，求BED的面积解四边形ABCD是矩形，ADBC，A90，又由折叠知12，13，BEDE.设BEDEx，则AE8x.在RtABE中，AB2AE2BE2，428x2x2，解得x5，即DE5.SBEDDEAB5410.23.【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗它的对称轴有几条矩形是中心对称图形吗对称中心是什么ABCDEFGH.O矩形的对称性及相关性质矩形的性质对称性.对称轴.轴对称图形2条矩形的性质中心对称.对称中心.中心对称图形对角线的交点对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分中心对称图形对边平行且相等四个角为直角对角线互相平分且相等中心对称图形轴对称图形O两对全等的等腰三角形.你在矩形中还发现了哪些基本图形四个全等的直角三角形.如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论RtABC中，BO是一条怎样的线段它的长度与斜边AC有什么关系一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗直角三角形的性质猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.OD证明延长BO至D使ODBO连接AD、DC.AOOCBOOD，四边形ABCD是平行四边形.ABC90平行四边形ABCD是矩形，ACBD，如图，在RtABC中，ABC90，BO是AC上的中线.求证BOAC.BOBDAC.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例3如图，在ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点1若AB10，AC8，求四边形AEDF的周长；解AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，DEAEAB105，DFAFAC84，四边形AEDF的周长AEDEDFAF554418；利用直角三角形的性质解答题目2求证EF垂直平分AD.证明DEAE，DFAF，E、F在线段AD的垂直平分线上，EF垂直平分AD.提示当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解3.三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处三个人的位置对每个人公平吗请说明理由答公平.因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.1.（2018株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为_____巩固练习2.52.（2019福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DFBE求证AFCE巩固练习证明四边形ABCD是矩形，DB90，ADBC，ADFCBE（SAS），AFCEADBC，DB，DFBE，在ADF和CBE中，1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）AABDCBACBDCACBDDOAOBABCDOC2.若直角三角形的两条直角边分别5和12则斜边上的中线长为A.13B.6C.6.5D.不能确定C3.如图，在ABC中ABC90BD是斜边AC上的中线.1若BD3cm则AC_____cm2若C30AB5cm则AC_____cmBD_____cm.61054.如图在矩形ABCD中E是BC上一点AEADDFAE垂足为F.求证DFDC.ABCDEF证明连接DE.ADAEAEDADE.四边形ABCD是矩形ADBCC90.ADEDECDECAED.又DFAEDFEC90.又DEDEDFEDCEDFDC.如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，DAEBAE31，求BAE和EAO的度数解四边形ABCD是矩形，DAB90，AOAC，BOBD，ACBD，BAEDAE90，AOBO.又DAEBAE31，BAE22.5，DAE67.5.AEBD，OABABE67.5EAO67.522.545.ABE90BAE9022.567.5，如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GFDE.解连接EG，DG.BD，CE是ABC的高，BDCBEC90.点G是BC的中点，EGBC，DGBC.EGDG.又点F是DE的中点，GFDE.矩形的相关概念及性质具有平行四边形的一切性质四个内角都是直角，对角线相等既是轴对称图形也是中心对称图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有一个角是直角的平行四边形叫做矩形定义性质矩形的判定第二课时返回一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形.你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗2.能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.1.理解并掌握矩形的判定方法.素养目标小明利用周末的时间，为自己做了一个相框问题1请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢矩形的判定定理1证明问题2你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗同样，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢小明的猜想对角线相等的四边形是矩形问题3上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗【讨论】你能证明这一猜想吗猜想对角线相等的平行四边形是矩形.已知平行四边形ABCD中，ACBD.求证四边形ABCD是矩形.证明ABDCABCDCB（SSS）ABCDABCDCB180ABCDCB90又四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD是矩形.ABCDCB四边形ABCD是平行四边形又ACDB，BCCB对角线相等的平行四边形是矩形.矩形的判定定理1几何语言四边形ABCD是平行四边形且ACBD四边形ABCD是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）（或OAOCOBOD）解四边形ABCD是平行四边形，OAOCAC，OBODBD.又OAOD，ACBD，四边形ABCD是矩形，BAD90.又OAD50，OAB40.利用对角线判定矩形12解四边形ABCD是矩形.理由如下四边形ABCD是平行四边形AOCODOBO.又12，AOBO，ACBD，四边形ABCD是矩形.问题1前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么成立吗逆命题四个角是直角的四边形是矩形.成立.问题2四边形至少有几个角是直角就是矩形呢矩形的判定定理2做一做李芳同学由“边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗为什么猜想有三个角是直角的四边形是矩形.你能证明上述结论吗已知如图在四边形ABCD中ABC90.求证四边形ABCD是矩形.证明ABC90AB180BC180，ADBCABCD.四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.ABC90四边形ABCD是矩形.几何语言矩形的判定定理2归纳总结矩形的几种判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）有三个角是直角的四边形是矩形.方法1方法2方法3例2如图在ABC中点O是AC边上的一个动点过点O作直线MNBC若MN交BCA的平分线于点E交BCA的外角平分线于点F.1求证OEOFEF证明CF平分ACD，12又MNBC，1323，同理可证OCOEOEOFD2当O运动到何处时四边形AECF为矩形利用角判断四边形是矩形OCOF1答当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由由（1）知OEOF又AOCO四边形AECF是平行四边形又EC、FC分别平分ACB、ACD2490即ECF90四边形AECF是矩形2EFD2.如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证四边形EFGH为矩形证明在ABCD中，ADBCDABABC180.AE与BG分别为DAB、ABC的平分线四边形EFGH是矩形同理可证AEDEHG90AFB90，GFE90.BAEABFDABABC90.1.（2018上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）AABBACCACBDDABBCB2.（2019怀化）已知如图，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F分别为垂足（1）求证ABECDF；（2）求证四边形AECF是矩形（1）证明四边形ABCD是平行四边形，BD，ABCD，ADBC，AEBAECCFDAFC90，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）；（2）证明ADBC，EAFAECAFC90，ABCD，BD，AEBCFD，四边形AECF是矩形EAFAEB90，AEBC，CFAD，1.如图，在ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定ABCD是矩形的是（）AACBDBACBCCADBCDABADA2.如图直线EFMNPQ交EF、MN于A、C两点AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、ACN、CAF的平分线则四边形ABCD是（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.不能确定C3.如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点且AEBFCGDH.求证四边形EFGH是矩形.证明四边形ABCD是矩形，ACBD，AOBOCODO，AEBFCGDH，OEOFOGOH，四边形EFGH是平行四边形，EOOGFOOH，即EGFH，四边形EFGH是矩形.4.如图，在四边形ABCD中，ABCD，BAD90，AB5，BC12，AC13求证四边形ABCD是矩形证明四边形ABCD中，ABCD，BAD90，ADC90.又ABC中，AB5，BC12，AC13，满足13252122，即ABC是直角三角形，且B90，四边形ABCD是矩形如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为E，求证四边形ADCE为矩形证明在ABC中，ABAC，ADBC，BADDAC，即DACBAC.又AN是ABC外角CAM的平分线，MAECAECAMDAEDACCAEBACCAM90.又ADBC，CEAN，ADCCEA90四边形ADCE为矩形如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm，BC26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cms的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cms的速度运动点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动1经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形解设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，即PDCQ，所以24x3x，解得x6.即经过6s，四边形PQCD是平行四边形；2经过多长时间，四边形PQBA是矩形解设经过ys，四边形PQBA为矩形，即APBQ，y263y，解得y6.5，即经过6.5s，四边形PQBA是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明矩形的判定定义判定定理课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
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