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18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形第一课时第二课时人教版数学八年级下册正方形的性质第一课时返回除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢怎样研究这类图形想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别.2.能用正方形的定义、性质进行推理与计算.素养目标平行四边形情境一观察体会正方形的定义有一个直角有一个直角矩形有一个直角矩形有一个直角一组邻边相等矩形菱形有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等平行四边形有一个直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等有一个直角正方形平行四边形你能给正方形下一个定义吗问题1图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形问题2当CD移动到CD位置，此时ADAB，四边形ABCD还是矩形吗AB正方形是特殊的矩形情景二两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD矩形正方形【思考】1.矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢正方形【思考】2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢小结矩形正方形邻边相等发现一组邻边相等的矩形叫正方形.一个角是直角正方形发现一个角为直角的菱形叫正方形.如何来给正方形下定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.请同学们拿出准备好的正方形纸片折一折观察并思考.正方形是不是轴对称图形如果是那么对称轴有几条对称性.对称轴.轴对称图形4条ABCD正方形的性质总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性平行四边形中心对称图形（对角线的交点）即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）矩形菱形正方形有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角1234平行四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系矩形菱形正方形矩形菱形正方形平行四边形正方形是特殊的平行四边形也是特殊的矩形也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系性质1.正方形的四个角都是直角四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.已知如图四边形ABCD是正方形.求证正方形ABCD四边都相等四个角都是直角.ABCD证明四边形ABCD是正方形.A90ABBC（正方形的定义）.又正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）正方形是菱形菱形的定义.ABCD90ABBCCDAD.已知如图四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证AOBOCODOACBD.ABCDO证明正方形ABCD是矩形AOBOCODO.正方形ABCD是菱形.ACBD.例1求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知如图四边形ABCD是正方形对角线AC、BD相交于点O.求证ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.证明四边形ABCD是正方形ACBDACBDAOBOCODO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形并且ABOBCOCDODAO.利用正方形的性质求线段相等1.已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、EC.EAEC吗说说你的理由.E12解EAEC.理由如下四边形ABCD是正方形，ABBC，1245，又BEBEABECBEAECE.例2如图，在正方形ABCD中，BEC是等边三角形，求证EADEDA15.证明BEC是等边三角形，BECEBCEBCECB60，四边形ABCD是正方形，ABBCCDABCDCB90，ABBECECDABEDCE30，ABE，DCE是等腰三角形，BAEBEACDECED75，EADEDA90-7515.利用正方形的性质求角度2.已知如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证MFD45证明CEAF，ADCAEM90又AME，12又CDAD，ADFMDCRtCDMRtADFASADMDF.DMFDFMADF90，MFD45.例3如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AECG.解四边形ABCD是正方形ADCD又四边形DEFG也是正方形DEDG又正方形的每个内角为90ADEEDCCDGEDC，ADECDGAEDCGD.AECG利用正方形的性质求线段相等3.已知如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DEBF求证（1）AEAF；（2）EAAF证明（1）ABCD是正方形ADAB，ADEABF90在ABF与ADE中，ADABADEABF90，DEBFABFADE（SAS）AEAF13（2）23901290，EAFA（2018吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BECF，求证ABEBCF巩固练习证明四边形ABCD是正方形，ABBC，ABEBCF90，在ABE和BCF中，ABEBCFABBCABEBCFBECF1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD3在正方形ABC中ADBDACBOC.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AEAB，则EBC的度数是.459022.5第3题图第4题图455.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积四边形ABCD是正方形，ACBD，OAOD2.在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周长为4AD，面积为AD28.解如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E，PFDC于F.试说明APEF.解连接PC，AC.又PEBC，PFDC四边形ABCD是正方形FCE90，AC垂直平分BD四边形PECF是矩形PCEF.APPC.APEF.四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边ADE，求BEC的大小解当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图，ABAE，BAE9060150.AEB15.BEC60151530；同理可得DEC15.当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.综上所述，BEC的大小为30或150.1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的判定第二课时返回宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗2.能应用正方形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.1.理解并掌握正方形的判定方法.素养目标做一做把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形菱形【讨论】满足怎样条件的菱形是正方形正方形一个角是直角或对角线相等正方形的判定已知如图在菱形ABCD中ACDB是它的两条对角线ACDB.求证四边形ABCD是正方形.求证对角线相等的菱形是正方形.四边形ABCD是菱形ABBCCDADACDB.ACDBAOBOCODOAODAOBCODBOC是等腰直角三角形，DABABCBCDADC90四边形ABCD是正方形.证明做一做准备一张矩形的纸片，按照下图折叠然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形矩形正方形一组邻边相等或对角线互相垂直矩形已知如图在矩形ABCD中ACDB是它的两条对角线ACDB.求证矩形ABCD是正方形.证明四边形ABCD是矩形AOCOBODO，ADC90.ACDBADABBCCD矩形ABCD是正方形.求证对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角正方形常见的判定方法先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形平行四边形5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线互相垂直一组邻边相等或对角线互相垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结例1已知如图，ABC中，C90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求证四边形CFDE是正方形C90，DEBC于E，DFAC于FDEC90，DFC90，四边形CFDE有三个直角，它是矩形又CD平分ACBDEDF四边形CFDE是正方形由矩形到正方形的识别证明DEAC，DFBC，DECDFC90.又C90，四边形ADFC是矩形.过点D作DGAB，垂足为G.AD是CAB的平分线DEAC，DGAB，同理得DGDF，四边形EDFC是正方形.1.如图，在直角三角形中，C90，A、B的平分线交于点D.DEAC，DFBC.求证四边形CEDF为正方形.ABCDEFG证明DEDG.EDDF，证明四边形ABCD为正方形OBOCABOBCO45BOC90COHBOH.EGFHCOHBOEOEOH.例2如图，EGFH过正方形ABCD的对角线的交点O且EGFH.求证四边形EFGH是正方形.由菱形到正方形的识别OEOFOGOH.EOGOFOHO即EGHFBOEBOH90CHOBEO同理可证OEOFOG又EGFH四边形EFGH为菱形.四边形EFGH为正方形.2.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AEBFCMDN四边形EFMN是正方形吗为什么四边形ABCD是正方形，ABBCCDDA，ABCD90.AEBFCMDN，ANBECFDM.解四边形EFMN是正方形.理由如下AEBFCMDNABCDANBECFDMAENBFECMFDNMENFEMFNM，ANEBEF四边形EFMN是菱形，NEF180（AENBEF）180（AENANE）1809090.四边形EFMN是正方形.在AEN、BFE、CMF、DNM中，（2019北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；存在无数个四边形MNPQ是菱形；至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是_______1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）AACBD，ABCD，ABCDBADBC，ACCAOBOCODO，ACBDDAOCO，BODO，ABBCCABCDO2.下列判断中正确的是（）A.四边相等的四边形是正方形B.四角相等的四边形是正方形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当ABBC时，四边形ABCD是菱形B当ACBD时，四边形ABCD是菱形C当ABC90时，四边形ABCD是矩形D当ACBD时，四边形ABCD是正方形D4.如图，在四边形ABCD中ABBC对角线BD平分ABCP是BD上一点过点P作PMADPNCD垂足分别为M、N.1求证ADBCDB2若ADC90求证四边形MPND是正方形.证明（1）ABBCBD平分ABC.12.ABDCBDSAS.ADBCDB.12（2）ADC90又PMADPNCDPMDPND90.四边形NPMD是矩形.ADBCDBADBCDB45.DMPMDNPN.四边形NPMD是正方形.如图，ABC中，D是BC上任意一点，DEAC，DFAB（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么解（1）DEAC，DFAB，四边形AEDF为平行四边形.（2）四边形ADEF为菱形，AD平分BAC，则AD平分BAC时，四边形AEDF为菱形.（3）在（2）的条件下，当ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由解由四边形AEDF为正方形BAC90，ABC是以BC为斜边的直角三角形即可如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AFAE（1）求证BFDE；（2）当点E运动到AC中点时其他条件都保持不变，问四边形AFBE是什么特殊四边形说明理由（1）证明正方形ABCD，ABAD，BAD90，AFAC，EAF90，在ABF和ADE中，ABAD，BAFEAD，AFAEABFADE（SAS），BAFEAD，BFDE；（2）解当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由点E运动到AC的中点，ABBC，BEAC，BEAEAC，AFAE，又BEAC，FAEBEC90，BEAF，四边形AFBE是平行四边形，FAE90，AFAE，四边形AFBE是正方形BEAFAE.BEAF，5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线互相垂直一组邻边相等或对角线互相垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
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