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19.2一次函数19.2.2一次函数第一课时第二课时人教版数学八年级下册第三课时第四课时一次函数的概念及解析式第一课时返回某登山队大本营所在地的气温为5，海拔每升高1km气温下降6.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y.试用函数解析式表示y与x的关系.这个函数是正比例函数吗它与正比例函数有什么不同这种形式的函数还会有吗y5-6x1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.素养目标3.能利用一次函数解决简单的实际问题.（1）有人发现，在2025时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位）有关，即c的值约是t的7倍与35的差.（2）一种计算成年人标准体重G（单位千克）的方法是以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是G的值.解是函数关系，函数解析式为c7t-3520t25解是函数关系，函数解析式为Gh-105一次函数的概念（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位元）包括月租费22元和拨打电话x分钟的计时费（按0.1元分钟收取）.（4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位cm2）随x的变化而变化.解是函数关系，函数解析式为y0.1x22解是函数关系，函数解析式为y-5x500 x10【讨论】分别说出这些函数的常数、自变量，这些函数解析式有哪些共同特征解（1）c7t-35的常数为7、-35，自变量为t；发现它们都是常数k与自变量的______与常数b的____的形式.和乘积（2）Gh-105的常数为1、-105，自变量为h；（4）y-5x50的常数为-5、50，自变量为x.（3）y0.1x22的常数为0.1、22，自变量为x；观察以上出现的四个函数解析式，它们是不是正比例函数，那么它们共同的特征如何表示呢yk常数xb（常数）（1）c7t-35（2）Gh-105（3）y0.1x22（4）y-5x50一般地，形如ykxb（k，b是常数，k0）的函数，叫做一次函数.一次函数的特点如下（1）解析式中自变量x的次数是次（2）比例系数；（3）常数项通常不为0，但也可以等于0.1k0【讨论】一次函数与正比例函数有什么关系（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.（1）当b0时，ykxb即ykxk0，此时该一次函数是正比例函数.答（1）是一次函数，又是正比例函数；（4）是一次函数.解因为当x1时，y5；当x-1时，y1所以解得k2b3.例1一次函数，当x1时，y5；当x-1时，y1.求k和b的值.利用一次函数函数一般式求字母的值2.已知一次函数ykx-b，当x3时，y8；当x-3时，y-10求k和b的值解当x3时，y8；当x-3时，y-10解得k3，b1.例2已知函数ym-2x4-m2（1）当m为何值时，这个函数是一次函数解（1）由题意可得m-20，解得m2.即m2时，这个函数是一次函数.利用一次函数的概念求字母的值注意利用定义求一次函数解析式时，必须保证（1）k0；（2）自变量x的指数是“1”（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数（2）由题意可得m-20，4-m20，解得m-2.即m-2时，这个函数是正比例函数.3.已知函数y2x|m|m1.（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.解（1）由题意得因此m1.（2）由题意得m10解得m-1.汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升求油箱的油量y（单位升）随行驶路程x（单位千米）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y是x的一次函数吗解油量y与行驶时间x的函数关系式为利用一次函数解答实际问题自变量x的取值范围是0 x.4.如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.1写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗2若长是宽的2倍，求长方形的面积.解1y15-x，是一次函数.2由题意可得x2（15-x）.解得x10，所以y15-x5.长方形的面积为10550cm2.（2019陕西）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变若地面气温为m（），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（）（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为26时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；巩固练习小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温巩固练习解（1）根据题意得ym6x；（2）将x7，y26代入ym6x，得26m42，m16当时地面气温为16x1211，y1661150（）假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为501.下列函数中，y是x的一次函数的是（）A.B.C.D.C2.下列说法正确的是（）A.一次函数是正比例函数B.正比例函数不是一次函数C.不是正比例函数就不是一次函数D.正比例函数是一次函数D3.要使ym-2xn-1n是关于x的一次函数nm应满足.n2m24.已知y与x3成正比例，当x4时，y31写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；2求x2.5时，y的值y3x9，y是x的一次函数y32.5-9-1.5解1设ykx3把x4，y3代入上式，得3k43解得k3，2当x2.5时，y3x3我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3的所得税如某人月收入3860元他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）310.8元.1当月收入大于3500元而又小于5000元时写出应缴所得税y元与收入x元之间的函数解析式.解y0.03x-35003500 x50002某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元解当x4160时，y0.034160-350019.8（元）.解设此人本月工资是x元，则19.20.03x-3500解得x4140.答此人本月工资是4140元.3如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元如图，ABC是边长为x的等边三角形.（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗如果是，请指出相应的k与b的值.解1BC边上的高AD也是BC边上的中线，BD.即h是x的一次函数，且在RtABD中，由勾股定理，得（2）当时，求x的值.（3）求ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗解得x2.（3）即S不是x的一次函数.一次函数的概念形式ykxb（k0）特别地，当b0时，ykxk0是正比例函数一次函数的简单应用一次函数的图像和性质第二课时返回我们最快捷、最正确地画出正比例函数的图象时，通常在直角坐标系中选取哪两个点【思考】能用这种方法作出一次函数的图象吗答画正比例函数ykxk0）的图像，一般地，过原点和点（1，k.2.能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系.1.会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性.素养目标3.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.1.画出函数y-6x与y-6x5的图象.1260-6-1217115-1-7O2xy123-2-18641012一次函数的图象观察与比较这两个函数的图象形状都是，并且倾斜程度.函数y-6x的图象经过原点，函数y-6x5的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y-6x向平移个单位长度得到.比较上面两个函数图象的相同点与不同点.填出你的观察结果并与同伴交流.一条直线（05）相同上52-2-4-6-22xyO2.（1）画一次函数y2x-3的图象2画正比例函数y2x的图象y2x-3y2x4比较上面两个函数的图象回答下列问题（2）函数y2x的图象经过，函数y2x-3的图像与y轴交于点，即它可以看作由直线y2x向平移个单位长度而得到.（1）这两个函数的图象形状都是，并且倾斜程度.原点0，-3下3一条直线相同3在同一直角坐标系中，直线y2x-3与y2x的位置关系是.平行一次函数ykxb（k0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数ykx的图象平移个单位长度得到（当b0时，向平移；当b0时，向平移）.下上答ykxb与x轴的交点坐标是由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点0，b和点或1，kb，连线即可.【思考】一次函数ykxb（k0）与x轴的交点坐标是什么O例1用你认为最简单的方法画出下列函数的图象（1）y-2x-1；（2）y0.5x1-1-31y-2x-11.5y0.5x1也可以先画直线y-2x与y0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y-2x-1与y0.5x1.画一次函数的图象1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出三个函数的图象有什么关系.yx-1yxyx1解列表描点并连线x01yx-1yxyx1-100112画出函数yx1，y-x1，y2x1，y-2x1的图象.1210131-1O1xy1-1-1yx1y-x1y2x1y-2x1一次函数的性质观察函数yx1，y-x1，y2x1，y-2x1的图象.一次函数ykxb（k、b是常数，k0）中，k的正、负对函数图象有什么影响当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小.O1xy1-1-1yx1y-x1y2x1y-2x1例2P1x1，y1，P2x2，y2是一次函数y-0.5x3图象上的两点，下列判断中，正确的是A.y1y2C.当x1x2时，y1y2B.y1y2D.当x1x2时，y1y2D提示反过来也成立y越大，x就越小利用一次函数的性质比较大小2.在直线y3x6上，对于点A（x1y1和B（x2，y2若x1x2，则y1y2.填写大小关系）3.下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（）Bk0，b0k0，b0k0，b0k0，b0k0，b0k0，b0根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限一次函数经过象限与字母k，b的关系一次函数ykxb中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响当k0时，直线ykxb由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大.b0时，直线经过第一、二、四象限；b0时，直线经过第二、三、四象限.b0时，直线经过第一、二、三象限；b0时，直线经过第一、三、四象限.当k0时，直线ykxb由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.例3已知一次函数y1-2mxm-1求满足下列条件的m的值（1）函数值y随x的增大而增大；（2）函数图象与y轴的负半轴相交；（3）函数的图象过第二、三、四象限；解1由题意得1-2m0，解得2由题意得1-2m0且m-10，即3由题意得1-2m0且m-10，解得利用一次函数的性质求字母的值4.已知一次函数y2m2x3-n根据下列条件请你求出mn的取值范围.1y随x的增大而增大2直线与y轴交点在x轴下方3图象经过第二、三、四象限.解1由y随x的增大而增大可知2m20所以当m-1时y随x的增大而增大2由直线与y轴交点在x轴下方可知3-n3时直线与y轴交点在x轴下方且有2m20即m-1所以m-1n3.3图象经过第二、三、四象限由一次函数图象分布情况可知解得当m3时图象经过第二、三、四象限.1.（2018常德）若一次函数y（k2）x1的函数值y随x的增大而增大，则（）Ak2Bk2Ck0Dk0巩固练习2.（2019广安）一次函数y2x3的图象经过的象限是（）A一、二、三B二、三、四C一、三、四D一、二、四BC1.一次函数yx-2的大致图象为（）CABCD2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是A.y-2xB.y-2x1C.yx-2D.y-x-2C4.直线y2x-3与x轴交点的坐标为________；与y轴交点的坐标为_______；图象经过第___________象限，y随x的增大而________3.若直线ykx2与y3x-1平行，则k.35.点A-1y1B3y2是直线ykxbk”或“”.（0，-3）一、三、四增大（1.5，0）DB已知函数ykx的图象在二、四象限，那么函数ykx-k的图象可能是（）B分析由函数ykx的图象在二、四象限，可知k0，所以函数ykx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B.已知一次函数y3m-8x1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值.解由题意得，解得又m为整数m2.一次函数的图象和性质当k0时，y的值随x值的增大而增大；当k0时，y的值随x值的增大而减小.与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（，0），当k0，b0时，经过一、二、三象限；当k0，b0时，经过一、二、四象限；当k0，b0时，经过二、三、四象限.图象性质待定系数法求一次函数的解析式第三课时返回【思考】你在作一次函数图象时，分别描了几个点在上节课中我们学习了在给定一次函数解析式的前提下，我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的解析式呢这将是本节课我们要研究的问题.你为何选取这几个点可以有不同取法吗1.理解待定系数法的意义.2.学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式.素养目标已知一次函数的图象经过点35与（-4，-9）.求这个一次函数的解析式解设这个一次函数的解析式为ykxb.这个一次函数的解析式为.解方程组得把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得y2x-1待定系数法求一次函数的解析式像这样先设出____________，再根据条件确定____________________，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗函数解析式解析式中未知的系数设代解还原归纳总结求一次函数解析式的步骤（1）设设一次函数的一般形式ykxbk0（2）列把图象上的点，代入一次函数的解析式，组成_________方程组；二元一次（3）解解二元一次方程组得kb；（4）还原把kb的值代入一次函数的解析式.函数解析式ykxb满足条件的两定点一次函数的图象直线l画出选取解出选取从数到形从形到数数学的基本思想方法数形结合整理归纳从两方面说明例1一次函数图像经过点90和点2420，写出函数解析式.解方程组得这个一次函数的解析式为解设这个一次函数的解析式为ykxb.把点（9，0）与（24，20）分别代入ykxb，得已知两点利用待定系数法求一次函数的解析式1.已知一次函数的图象过点（3，5）与（-3，-13），求这个一次函数的解析式解设这个一次函数的解析式为ykxb.解方程组得把点（3，5）与（-3，-13）分别代入，得例2若一次函数的图象经过点A20且与直线y-x3平行，求其解析式.解设这个一次函数的解析式为ykxb.由题意得解得y-x2.已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式解设直线l为ykxbl与直线y-2x平行，k-2.又直线过点（0，2），2-20b直线l的解析式为y-2x2.2.已知直线l与直线y-2x平行，且与y轴交于点0，2，求直线l的解析式.b2例3已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.分析一次函数ykxb与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（，0）.由题意可列出关于k，b的方程.注意此题有两种情况.几何面积和待定系数法求一次函数的解析式解设一次函数的解析式为ykxbk0一次函数ykxb的图象过点（0，2），b2一次函数的图象与x轴的交点是，0，则解得k1或-1.故此一次函数的解析式为yx2或y-x2.3.正比例函数yk1x与一次函数yk2xb的图象如图所示，它们的交点A的坐标为3，4，并且OB5.1你能求出这两个函数的解析式吗2AOB的面积是多少呢分析由OB5可知点B的坐标为0-5.yk1x的图象过点A3，4，yk2xb的图象过点A3，4，B0-5，代入解方程组即可.解（1）由题意可知，B点的坐标是（0，-5）一次函数yk2xb的图象过点（0，-5），（34），解得正比例函数yk1x的图象过点（34），因此（2）SAOB5327.5因此y3x-5.（2019枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（）Ayx4Byx4Cyx8Dyx8巩固练习A2.已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线yx3上，则该点是A.-78B.-56C.-45D.-12CD4.一次函数的图象如图所示，则k、b的值分别为A.k-2b1B.k2b1C.k-2b-1D.k2b-1AD5.如图，直线l是一次函数ykxb的图象，填空1b______k______2当x30时，y______3当y30时，x______.2-18-42lyx若一直线与另一直线y-3x2交于y轴同一点，且过（2，-6），你能求出这条直线的解析式吗答案y-4x2分析直线y-3x2与y轴的交点为02，于是得知该直线过点02，2，-6，再用待定系数法求解即可.已知一次函数ykxbk0的自变量的取值范围是3x6，相应函数值的范围是5y2，求这个函数的解析式.分析1当3x6时，5y2，实质是给出了两组自变量及对应的函数值；2由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论.答案用待定系数法求一次函数的解析式2.根据已知条件列出关于k，b的方程组；1.设所求的一次函数解析式为ykxb；3.解方程，求出k，b4.把求出的k，b代回解析式即可.一次函数解决实际问题第四课时返回乌鸦喝水，是伊索寓言中一个有趣的寓言故事.故事梗概为“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水.“告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦.10cm9cm如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口说说你的做法1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题.2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力.素养目标如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距.某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据求出h与d之间的函数解析式（不要求写出自变量d的取值范围）.某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少一次函数解答实际问题解（1）设h与d之间的函数关系式为hkdb把d20，h160，d21，h169，分别代入得，20kb160，21kb169.解得k9，b-20，即h9d-20.（2）当h196时，1969d-20，解得d24（cm）1.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y（元）与存钱月数x（月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题（1）求出y关于x的函数解析式.（2）根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元解1设函数解析式为ykxb，由图可知图象过0，404，120这个函数的解析式为y20 x40.2当y200时，20 x40200解得x8小明经过8个月才能存够200元.解得“黄金1号”玉米种子的价格为5元kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折.（1）填写下表2.557.51012141618（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.分析从题目可知，种子的价格与有关.若购买种子量为x2时，种子价格y为.若购买种子量为0 x2时，种子价格y为.购买种子量y5xy4（x-2）104x2解设购买量为x千克，付款金额为y元.当x2时，y4（x-2）104x2.当0 x2时，y5x；（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.叫做分段函数.注意1.它是一个函数；2.要写明自变量取值范围.y5x0 x2y4x2x2的函数图象为2.一个试验室在000200保持20的恒温，在200400匀速升温，每小时升高5.写出试验室温度T（单位）关于时间t（单位h）的函数解析式，并画出函数图象.解1由题意得当0t2时，T20；当2t4时，T205t-25t10函数解析式为T200t2T5t102t42函数图像为（2019聊城）某快递公司每天上午9001000为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A915B920C925D930巩固练习B1.若一次函数y3x-b的图象经过点P（1，-1），则该函数图象必经过（）A.（-11）B.（22）C.（-22）D.（2，-2）2.老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确地指出了这个函数的一个性质甲函数的图象经过第一象限；乙函数的图象经过第二象限；丙在每个象限内，y随x的增大而减小.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数，并写出它的函数解析式.By-2x6答案不唯一）3.某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后.（1）服药后______时，血液中含药量最高，达到每毫升_______毫克，接着逐步衰弱.（2）服药5时，血液中含药量为每毫升____毫克.263（3）当x2时y与x之间的函数解析式是___________.（4）当x2时y与x之间的函数解析式是___________.（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是______小时.y3xy-x844.某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图所示.（1）求y关于x的函数解析式；（2）一箱油可供拖拉机工作几小时解1y-5x40.28h5.温度的度量有两种摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是100，用华氏温度度量为212；水的冰点温度是0，用华氏温度度量为32.已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度解这个方程组，得因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为由已知条件，得为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过8立方米部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.（1）求出y关于x的函数解析式；解y关于x的函数解析式为（2）当x10时，y2.710-11.215.8.（3）1.3810.426.6，该用户用水量超过8立方米.2.7x-11.226.6，解得x14.答应缴水费为15.8元.答该户这月用水量为14立方米.（2）该市一户某月若用水x10立方米时，求应缴水费；（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.解春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0以下的天气现象称为“霜冻”由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害某种植物在气温是0以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害，需采取预防措施右图是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时8时气温随时间变化情况，其中0时5时，5时8时的图象分别满足一次函数关系请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由解根据图象可知设0时5时的一次函数关系式为y1k1xb1，经过点（03），（5，-3），b13，5k1b1-3.解得k1-1.2，b13.当y1、y2分别为0时，而|x2-x1|3，应采取防霜冻措施.设5时8时的一次函数关系式为y2k2xb2，经过点（5，-3），（85），5k2b2-3，8k2b25.y1-1.2x3..解得，.一次函数与实际问题一次函数与实际问题分段函数的解析式与图象课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
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