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18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第一课时第二课时人教版数学八年级下册菱形的性质第一课时返回下面的图形中有你熟悉的吗越王勾践剑，一把在地下埋藏了2000多年的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列的黑色菱形暗花纹.1.理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题.2.探索并证明菱形的性质定理.素养目标3.经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和方法.两组对边分别平行矩形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时成为什么图形有一个角是直角有一组邻边相等矩形由角变化得到如果从边的角度将平行四边形特殊化让它有一组邻边相等这个特殊的四边形叫什么呢四边形菱形的定义在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形xxk平行四边形菱形邻边相等有一组的邻边相等平行四边形叫做ADCB四边形ABCD是平行四边形，ABBC，四边形ABCD是菱形.菱形.菱形的定义几何语言菱形就在我们身边三菱汽车标志欣赏可以这样做将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片做一做菱形边的性质画出菱形的两条折痕并通过折叠手中的图形回答以下问题问题菱形的四条边在数量上有什么关系猜想菱形的四条边都相等.已知如图，在平行四边形ABCD中，ABAD，对角线AC与BD相交于点O.求证ABBCCDAD；证明四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC（平行四边形的对边相等）.又ABADABBCCDAD.菱形的性质菱形的四条边都相等.符号语言四边形ABCD是菱形ABBCCDAD1.已知菱形的周长是36cm，那么它的边长是______.9cm2.已知一个正方形花坛的周长是48m，菱形花坛的边长是正方形花坛边长的2倍，则菱形花坛的周长是（）A.24mB.12mC.96mD.48mC观察将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形.菱形对角线的性质操作在自己剪出的菱形上画出两条折痕折叠手中的图形如图），并回答以下问题问题1菱形是轴对称图形吗如果是指出它的对称轴.是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2根据上面折叠过程，菱形的两对角线有什么关系猜想菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.已知如图，在平行四边形ABCD中，ABAD，对角线AC与BD相交于点O.求证ACBD；DACBAC，DCABCA，ADBCDB，ABDCBD.证明ABADABD是等腰三角形.又四边形ABCD是平行四边形OBOD（平行四边形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中OBOD，AOBD，AO平分BAD，即ACBD，DACBAC.同理可证DCABCA，ADBCDB，ABDCBD.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形的性质符号语言四边形ABCD是菱形ACBDAC平分BAD和BCD；BD平分ABC和ADC对边相等四个角都是直角对角线互相平分且相等四边相等对角相等两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角比一比，猜一猜，填写下表例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD12cm，AC6cm，求菱形的周长解四边形ABCD是菱形，ACBD，AOAC，BOBD.AC6cm，BD12cm，AO3cm，BO6cm.在RtABO中，由勾股定理得菱形的周长4AB4cm利用菱形的性质求线段的长3.菱形ABCD中O是两条对角线的交点，已知AB5cmAO4cm，求两对角线AC、BD的长.解四边形ABCD是菱形OAOC，OBODACBDRtAOB中，OB2OA2AB2AB5，AO4OB3BD2OB6cm，AC2OA8cm.543例2如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且ABAE，AE交BD于O，且DAE2BAE，求证OAEB.证明四边形ABCD为菱形，ADBC，ADBA，ABCADC2ADB，DAEAEB，ABAEABCAEB，ABCDAE，DAE2BAE，又ADBA，AODBEA，利用菱形的性质求证线段相等AOBE.BAEADB.4.如图，在菱形ABCD中，CEAB于点E，CFAD于点F，求证AEAF.证明连接AC.四边形ABCD是菱形，AC平分BAD，即BACDAC.CEAB，CFAD，AECAFC90.又ACAC，ACEACF.AEAF.菱形是特殊的平行四边形那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积呢OE【思考】计算菱形的面积除了上式方法外利用对角线能计算菱形的面积吗菱形的面积S菱形BCAE如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O试用对角线表示出菱形ABCD的面积.O解四边形ABCD是菱形，ACBDS菱形ABCDSABCSADCACBOACDOACBODOACBD.菱形的面积底高对角线乘积的一半例3如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.解花坛ABCD是菱形，利用菱形的面积公式解答问题在RtOAB中，5.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形面积.解Ocm21.（2018淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A20B24C40D48巩固练习A巩固练习证明四边形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），122.（2019岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DEDF，求证12ADCD，DD，DFDE，1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）A.2.4cmB.4.8cmC.5.9.6cmB2.如图，在菱形ABCD中，AC8，BD6，则ABD的周长等于（）A.18B.16C.15D.14B3.如图，在菱形ABCD中，已知A60，AB5，则ABD的周长是A.10B.12C.15D.20C4.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.第3题图第4题图6cm5.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在AOB中，OA5，OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.解在RtAOB中，OA5，OB12，SAOBOAOB51230，S菱形ABCD4SAOB430120.又菱形两组对边的距离相等，S菱形ABCDABh13h，13h120，得h.如图，在菱形ABCD中，ABC与BAD的度数比为12，周长是8cm求（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积解（1）四边形ABCD是菱形，ABBC，ACBD，ADBC，ABCBAD180.ABC与BAD的度数比为12，ABC18060，ABOABC30，ABC是等边三角形.OAAB1cm，ACAB2cm，BD2OBcm；（2）S菱形ABCDACBD2（cm2）菱形ABCD的周长是8cmAB2cm，如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E求证AFDCBE证明四边形ABCD是菱形，CBCD，CA平分BCDBCEDCE又CECE，BCEDCE（SAS）CBECDE在菱形ABCD中，ABCD，AFDEDC.AFDCBE菱形的性质菱形的性质有关计算边1.周长边长的四倍2.面积底高两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角菱形的判定第二课时返回菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等边对角线角菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。菱形的性质2.经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路.1.掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算.素养目标根据菱形的定义可得菱形的第一个判定方法四边形ABCD是平行四边形且ABAD四边形ABCD是菱形数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的判定定理1用一长一短两根细木条在它们的中点处固定一个小钉做成一个可以转动的十字四周围上一根橡皮筋做成一个四边形.转动木条这个四边形什么时候变成菱形猜想对角线互相垂直的平行四边形是菱形.求证对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明四边形ABCD是平行四边形OAOC又ACBDBABC对角线互相垂直的平行四边形是菱形几何语言在ABCD中，ACBDABCD是菱形.菱形的判定定理1又四边形ABCD是平行四边形，OA4OB3AB5，即ACBD，AB2OA2OB2，AOB是直角三角形，四边形ABCD是菱形.利用对角线判定菱形证明1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）AABC90BACBDCABCDDABCDB猜想四条边都相等的四边形是菱形.ABCD李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形菱形的判定定理2证明ABBCCDADABCDBCAD.四边形ABCD是平行四边形.又ABBC四边形ABCD是菱形.已知如图，四边形ABCD中ABBCCDAD.求证四边形ABCD是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.菱形的判定定理2几何语言在四边形ABCD中，ABBCCDAD，四边形ABCD是菱形.菱形的判定ABBCCDDA四边形ABCD是菱形在ABCD中ACBD四边形ABCD是菱形在ABCD中ABAD四边形ABCD是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形证明连接AC、BD.四边形ABCD是矩形，ACBD.点E、F、G、H为各边中点，EFFGGHHE，四边形EFGH是菱形.例2如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证四边形EFGH是菱形.利用边相等判断四边形是菱形2.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证四边形ADCE是菱形.CNMN是AC的垂直平分线ADCD，OAOC，AECECEAB，DAOECOADOCEOADCEADCDCEAE四边形ADCE是菱形证明B如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.1求证四边形BCFE是菱形；1证明D、E分别是AB、AC的中点，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形；菱形性质和判定的综合应用2解BCF120，EBC60，EBC是等边三角形，过点E作EHBC则HE菱形的边长为4，高为，菱形的面积为.2若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积H判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形3.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分DAB，AB2，求平行四边形ABCD的周长.解四边形ABCD为平行四边形，ABCD，BACACD，AC平分DAB，DACBAC，DACACD，ADDC，四边形ABCD为菱形，四边形ABCD的周长428（2019兰州）如图，AC8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长解（1）四边形ABCD为菱形；由作法得ABADCBCD5，所以四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD为菱形，在RtAOB中，OB，OAOC4，OBOD，ACBD，BD2OB61.下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.ACBDAC与BD互相平分B.ABBCCDDAC.ABBCADCD且ACBDD.ABCDADBCACBDC24cm菱形3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为，其面积为.4.如图，在菱形ABCD中CEABCFAD.则CECF，BEDF.证明12又AEACADADACDAEDSAS.同理ACFAEFSAS.CDEDCFEF.又EFED四边形ABCD是菱形.25.如图在ABC中AD是角平分线点E、F分别在AB、AD上且AEACEFED.求证四边形CDEF是菱形.ACBEDF1CDEDCFEF如图，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm.将ABC沿射线BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证四边形ACFD是菱形由平移变换的性质得CFAD10cm，DFAC.B90，AB6cm，BC8cm，ACDFADCF10cm，四边形ACFD是菱形证明已知如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F求证四边形AFCE是菱形.EF垂直平分ACAOCOAOE90FOCAOE90四边形ABCD是平行四边形ADBCAEFCAEOCFOAEOCFOOEOF又AOCO四边形AFCE是平行四边形又EFAC四边形AFCE是菱形证明有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明菱形的判定定义法判定定理课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
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