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16.1二次根式第一课时第二课时人教版数学八年级下册二次根式有意义的条件和非负性第一课时返回电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位km）与电视节目信号的传播半径r（单位km）之间存在近似关系，其中地球半径R6400km如果两个电视塔的高分别是h1km、h2km，那么它们的传播半径之比是.公式中中的表示什么意义1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.素养目标3.会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点（1）这些式子分别表示什么意义分别表示3，S，65，的算术平方根根指数都为2被开方数为非负数.（2）这些式子有什么共同特征在前面的问题中，得到的结果分别是，，，根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.注意a可以是数，也可以是式.归纳总结例1下列各式中，哪些是二次根式哪些不是解146均是二次根式，其中x24属于“非负数正数”的形式一定大于零.357均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析利用二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）（5）（6）；（7）1.下列各式是二次根式吗是是是是是（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是例2当x是怎样的实数时在实数范围内有意义解由x-20，得x2.当x2时，在实数范围内有意义.【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义解由题意得x-10，x1.利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围（1）解被开方数需大于或等于零，x30，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3且x1.归纳小结要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.（2）【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义解1无论x为任何实数，当x1时，在实数范围内有意义.2无论x为任何实数，-x2-2x-3-x12-20，无论x为任何实数，在实数范围内都无意义.归纳小结被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.（1）（2）1单个二次根式如有意义的条件A0；3多个二次根式相加如有意义的条件2二次根式作为分式的分母如有意义的条件A0；4二次根式与分式的和如有意义的条件A0且B0.归纳总结二次根式有意义的条件应用的不同类型2.x取何值时下列二次根式有意义x1x0（3）（4）x为全体实数x0（5）（6）x0 x0 x-1且x27（9）x0 x为全体实数8【新知思考】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义【回顾思考】二次根式的被开方数a的取值范围是什么它本身的取值范围又是什么因为x0，所以x可以为任意实数.要使x0，必须x0.当a0时，表示a的算术平方根，因此；当a0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说，当a0时，.呢二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知0.二次根式的双重非负性归纳总结解由题意可知a30b-20c-10解得a-3b2c1.所以2a-b3c-32-231-5.利用二次根式的双重非负性求字母的值例3若，求2a-b3c的值.提示多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.3.已知|3x-y-1|和互为相反数，求x4y的平方根解由题意得3x-y-10且2xy-40解得x1，y2x4y1249，x4y的平方根为3.二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例4已知实数x、y满足等式，求x2-2xyy2的值.解由题意得解得x3把x3代入得y-5所以x2-2xyy2（x-y2352644.已知y求3x2y的算术平方根.解由题意得x3，y8，3x2y332825.25的算术平方根为5，3x2y的算术平方根为5巩固练习C1.（2018扬州）使有意义的x的取值范围是（）Ax3Bx3Cx3Dx3A2.（2019黄石）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax1且x2Bx1Cx1且x2Dx1巩固练习3.（2018苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）ABCDDAD-13.当x____时，二次根式取最小值，其最小值为______01.下面的式子是二次根式的是A.B.C.D.a2.（2018达州）二次根式中的x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx24.1若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______2若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x1x0且x25.1若二次根式有意义，求m的取值范围解由题意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，2无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围解由题意得x26xm0，即x32m-90.m2x320，m-90，即m9.已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长解由题意得a3，b4.当a为腰长时，三角形的周长为33410；当b为腰长时，三角形的周长为44311先阅读，后回答问题当x为何值时，有意义解由题意得xx-10由乘法法则得解得x1或x0即当x1或x0时，有意义.体会解题思想后，试着解答当x为何值时，有意义解由题意得则解得x2或x，即当x2或x时，有意义二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中a0且0二次根式化简第二课时返回【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅算术平方根之门平方之门0-4-1aa01【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢算术平方根之门平方之门0-4-111641aa为任意数【想一想】你发现了什么2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.素养目标1.经历探索性质a（a0）和a（a0）的过程，并理解其意义，体验归纳、猜想的思想方法.（2）什么是一个数的算术平方根如何表示（1）什么叫做一个数的平方根如何表示一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.a的平方根是用a0表示.（1）填空（2）通过（1）的思考，你能确定（a0）的化简结果吗说说你的理由.402是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有4.同理，分别是的算术平方根.因此20的性质一般地，aa0.即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.归纳例1计算解积的乘方（ab）2a2b2（1）（2）（1）（2）解（1）（2）解总结本题逆用了在实数范围内分解因式.（1）（2）2.在实数范围内分解因式（1）x2-112x4-14x249解（1）x2-11xx-2x4-14x249x2-72x-2x220.10化简下列根式，想一想化简后，你能确定的化简结果吗.平方运算算术平方根20.10.aa02.观察两者有什么关系填一填aa0..平方运算算术平方根-2-0.1.2.观察两者有什么关系aa0【猜一猜】当a0时，-aaa0-aa0即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.归纳的性质解警示而3.14，要注意a的正负性.1234【讨论】（1）在中，可否去掉“a0”如果去掉“a0”结论将会发生怎样的变化（2）第二小题中的能否直接使用性质进行化简计算一般有两个步骤去根号及被开方数的指数写成绝对值的形式即去掉绝对值符号即3.请同学们快速分辨下列各题的对错（）（）（）（）374810.610-3【议一议】如何区别与从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方后平方先平方，后开方a0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根解由数轴可知a0，b0，a-b0，原式|a|-|b||a-b|-a-b-（a-b）-2a.例4实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是.16.实数ab在数轴上对应点的位置如图所示化简的结果是A.-2abB.2a-bC.-bD.bA（1）含有数或表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母代数式的定义用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把或连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.数表示数的字母【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类代数式整式分式二次根式归纳利用代数式的定义判断代数式例5下列式子1x2a-b345m1n62x17-2.其中是代数式的有A.4个B.5个C.6个D.7个B7.下列式子是代数式的有a2b213x23（45）x1010 x5y15A.3个B.4个C.5个D.6个C解（1）船在这条河中顺水行驶的速度是kmh，逆水行驶的速度是kmh（2）设贺卡的长为5x则宽为3x.依题意得15x2S，所以所以它的长为列代数式归纳总结列代数式的要点要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；理清语句层次明确运算顺序；牢记一些概念和公式7.如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.1.（2019黄冈）计算的结果是____巩固练习42.（2018无锡）下列等式正确的是（）ABCDA1.（2018临安区）化简的结果是（）A2B2C2D4C2.当1x3时，的值为（）A.3B.-3C.1D.-1D3.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.32C.DB4.计算解（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）5.在实数范围内分解因式解（1）x2-32y4-4y24（1）x2-32y4-4y24y2-22实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简.解根据数轴可知ba0，a2b0，a-b0，则|a2b||a-b|-a-2ba-b-3b已知a、b、c是ABC的三边长，化简解a、b、c是ABC的三边长，abc0，bca，bac，原式|abc|-|bc-a||c-b-a|abc-（bc-a）（ba-c）abc-b-caba-c3ab-c分析利用三角形三边关系三边长均为正数，abc0两边之和大于第三边，bc-a0，c-b-a0二次根式性质拓展性质（a为全体实数）课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
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