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四圆柱和圆锥一、认识圆柱、圆柱的组成部分1.圆柱的形成圆柱是以长方形的一条边为轴旋转得到的;也可以由长方形卷起来得到。2.生活中常见的圆柱3.圆柱各部分的名称及其特征1圆柱的上、下两个面都是圆形的,大小相同,叫做底面。2圆柱周围的面是曲面,我们叫它侧面。3圆柱两底之间的距离叫做高,一个圆柱有无数条高,它们都相等。二、圆柱的侧面以及侧面积的求法1.圆柱的侧面展开图及其形状1沿着高展开,展开图是长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,长方形的宽等于圆柱的高;当底面周长和高相等时h2r,侧面展开图为正方形。2如果不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形。3无论如何展开都得不到梯形。2.圆柱的侧面展开后各个部分与圆柱的关系展开后长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高。3.圆柱的侧面积底面的周长高,即S侧Chdh2rh。三、圆柱的表面积的计算1.圆柱的侧面积加上两个底面的面积就是圆柱的表面积。2.圆柱的表面积2底面积侧面积,即S表S侧S底22rh2r2。3.圆柱的切割引起表面积的变化1横切切面是圆,表面积增加2个底面积,即S增2r2。2竖切过直径切面是长方形如果h2r,切面为正方形,该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增4rh。四、圆柱表面积的计算在实际生活中的应用在实际生活中,有时需要计算圆柱的表面积,如制作水桶时,不要上底面;制作圆柱形通风管时,不需要两个底面,这时需要计算圆柱的侧面积。五、圆柱的体积以及计算公式的推导和应用1.圆柱的体积圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。2. 1圆柱切拼成近似的长方体,分的份数越多,拼成的图形越接近长方体。2长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积底面积高,所以圆柱的体积底面积高,用字母表示为V柱Shr2h。3.不规则物体体积的计算。如计算左图这样的不规则图形的体积时,一般将两个完全一样的图形拼成一个圆柱,求出圆柱的体积后,再除以2。4.计算空心圆柱的体积时,一般用底面圆环的面积乘高来计算。六、容积的意义容器的容积容器所能容纳物体的多少叫做容器的容积。七、容积与体积的区别1.意义不同体积是指物体所占空间的大小。容积是指容器杯子、盒子、油桶等所能容纳物体的大小即内部体积。2.度量方法不同计算体积时是从物体的外面去测量。例如计算用玻璃做成的长方体鱼缸的体积,就要从外面去分别测量出长方体鱼缸的长、宽、高;如果要计算这个长方体鱼缸的容积或容量,就必须从鱼缸的里面去测量,因为做鱼缸的玻璃是有一定厚度的。3.计量单位不同计算物体的体积,必须使用体积单位“立方米、立方分米、立方厘米”等。计算容积一般使用容积单位“升、毫升”;但计算较大物体的容积时,也拿体积单位“立方米”来通用,因为升和毫升只限于计量液体,如桶装的汽油、小瓶装的药水。八、容积的计算、运用容积的计算解决问题1.容积的计算计算容器的容积时,要从里面测量圆柱形容器的底面直径和高。2.计算容器的容积的方法一般采用计算体积的方法来计算。3.不规则物体的体积或容积的计算利用转化思想,化不规则图形为规则图形。九、圆锥的认识、圆锥体积的计算1.圆锥的认识1底面圆锥的底面是一个圆。2侧面圆锥的侧面是一个曲面,展开图是扇形。3高从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高,圆锥只有一条高。2.圆锥的体积一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积。3.一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的13。根据圆柱体积公式VShVr2h,得出圆锥体积公式V13Sh。4.圆柱与圆锥的关系1与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。2体积和高都相等的圆锥与圆柱,圆锥的底面积是圆柱的3倍。5.计算组合图形的体积时,一般先分别求出基本图形的体积,再相加求和。十、运用圆柱、圆锥的体积计算解决简单的实际问题1.运用圆锥的体积解决简单的实际问题时要注意单位的统一。2.解答有关等积变形问题时,一般利用数学的转化思想,抓住体积不变,形状改变来计算。十一、木材加工问题1.求圆木的体积可以根据“圆柱的体积底面积高”来计算。2.横截面是正方形的木材叫做方木,方木的体积2r2h。巧记小圆柱直挺挺,上、下底面都相同,可以看作是由长方形旋转而成的,还可以看作是由平面卷曲而成的。易错点1.圆柱的侧面是曲面,高有无数条,不是1条。2.高指圆柱两底面之间的距离。易错点1.如果底面周长和高相等,展开图为正方形。2.底面直径和高相等,侧面展开图不是正方形。巧记规律沿高剪,圆柱侧面展开是长方形,侧面积是底面周长和高的积。易混点1.计算圆柱的表面积时,不要忘记底面积乘2后再加侧面积。2.无论是纵切圆柱还是横切圆柱,切一刀会增加2个切面。易错点解答制作圆柱类问题时,都要用进一法保留最后结果。易混点1.圆柱的体积底面积高2.圆柱的侧面积底面周长高方法巧记1.圆柱的高hV柱SV柱r22.圆柱的底面积SV柱h巧记容积体积本不同,容积度量内部量,体积度量外部量;容积单位升、毫升或立方米,体积单位立方米、立方分米、立方厘米。易混点求不规则图形的体积时,可以利用“转化”思想将不规则图形转化为规则图形,也就是数学中常说的“等积变形”。易错点圆锥只有1条高。易错点圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的13。易错点体积和底面积都相等的圆锥与圆柱,圆锥的高是圆柱的高的3倍。易混点“等积变形”就是说形状不同,但是体积相等。易混点圆木的底面积是r2,方木的底面积是2r2。
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