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一观察物体二一、观察实物从不同的方向观察同一个物体,物体相对于观察者的位置不同,所看到的物体形状也是不同的。相对地,根据观察者所看到的物体的形状及物体间的相对位置关系,可以确定观察者的位置。要点提示从不同的方向观察物体时,可以想象自己站在对应的位置上观察。二、辨认并画出从不同方向观察到的组合图形的方法1明确从某个方向观察到的物体的形状。根据已画出的平面图上的物体相对于观察者的特征,明确平面图是在物体的哪个方向观察得到的。2找准两个物体间的相对位置关系。根据平面图上两个物体的距离、前后等相对关系确定两个物体的实际位置关系。知识巧记观察物体并不难,眼睛平视物体表面。形状位置记心间,平面图形脑中现。三、观察立体1同一立体从不同的方向观察,得到的图形可能是相同的,也可能是不同的。如观察,从前面和上面看都是;但从左面和右面看是。2不同形状的立体从同一个方向观察,得到的图形可能是相同的,也可能是不同的。如观察 和,从前面、左面和右面看都是。要点提示观察物体时,视线要垂直于被观察物体的表面,以保证只能看到所观察的这个面。四、按要求搭立体根据从两个不同的方向所看到的图形可以搭成相应的立体,但不能确定立体的唯一形状。如用3块搭成的一个从前面和左面看都是的立体,这个立体可能是,也可能是。易错提示仅凭从某一个方向看到的图形是不能确定立体的形状的。二用字母表示数一、用字母表示数量关系1含有字母的式子可以表示数量,也可以表示数量关系。2当字母的数值确定时,含有字母的式子就有了与之相对应的确定值。如“a3”表示无论妞妞几岁,丫丫总比她大3岁。a在这里可以表示任意一个年龄,只要知道妞妞的年龄,即a取一个确定的值,那么丫丫的年龄就也有一个对应的值。所以说“a3”既简明地概括了“丫丫比妞妞大3岁”这一数量关系,同时也表示了丫丫的年龄。3求含有字母的式子的值。当妞妞15岁时,即a15,则a315318,也就是此时丫丫18岁。4含有字母的乘法式子的简便写法。数字和字母相乘时,乘号可以写成小圆点,也可以省略不写,省略不写时,数字必须写在字母的前面。如8x或x8,通常写成8x或x8,也可以简写成8x。字母和字母之间的乘号也可以写成小圆点,但通常省略不写。如xy通常写成xy。1与任何字母相乘时,都可以省略不写。如1x或x1,可以简写成x。5在同一问题中,可以用不同的字母表示不同的量。含有字母的式子不仅可以表示加、减、乘、除等数量关系,还可以表示乘加、乘减等数量关系。如苹果每千克x元,雪梨每千克y元。买1千克苹果和1千克雪梨用xy元。买2千克苹果和2千克雪梨用2xy元。买3千克苹果比1千克雪梨多花3x-y元。易错题填空张师傅每天加工a个零件,3天加工3a个。错因分析此题错在没有正确理解题中的数量关系。每天加工a个零件,3天就加工aaa个,求3个a相加的和是多少,用乘法计算,列式为3a。正确答案3a知识巧记字母表数很重要,生活当中离不了。写进式子本领大,合理数据都可表,数据如若有一定,代入式子值求到。乘法式子能简写,乘号写点或省掉。二、用字母表示公式1含有字母的式子的意义。a表示计划每月的用水量,b表示实际平均每月节约的水量。a-b表示实际每月的用水量;12a-b表示实际一年的用水量。理解每个字母或数表示的意义,进而理解含有字母的式子表要点提示1. a2表示2个a相乘,2a表示2个a相加。2.相同的字母在不同的式子中表示的意义不一定相同。示的意义。2用字母表示公式。正方形周长计算公式C4a正方形面积计算公式Sa2长方形周长计算公式C2ab或C2a2b长方形面积计算公式Sab三、用字母表示加法运算定律1加法交换律交换两个加数的位置,和不变。用字母表示为abba。如5885。2加法结合律三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,和相等。用字母表示为abcabc。如87315318873810188738733计算连加时,先观察哪几个数相加可以凑成整十、整百、整千的数,再运用加法的运算定律把这几个数先加起来,可以使计算简便。如36864935136864935136810001368知识拓展若干个数相加,任意交换加数的位置,它们的和不变。易错题判断在加法交换律abba和长方形面积计算公式Sab中,a、b表示的意义是相同的。 错因分析在加法交换律abba中,a、b表示两个加数,在长方形面积计算公式Sab中,a、b表示长方形的长和宽。正确答案三三位数乘两位数一、乘法1三位数乘两位数的笔算方法。先用两位数个位上的数去乘三位数,得数的末位与两位数的个位对齐;再用两位数十位上的数去乘三位数,得数的末位与两位数的十位对齐;最后把两次乘得的积加起来。2积的变化规律。在乘法里,一个因数不变,另一个因数乘一个数或除以一个不为0的数,积也乘或除以相同的数。3因数末尾有0的乘法的计算方法。先把0前面的数相乘,再看两个因数的末尾一共有几个0,就在得数的末尾添上几个0。4乘法的估算。可以把每个因数看成与它最接近的整十、整百、整千的数,也可以将两个因数中的任意一个因数看成与它最接近的整十、整百、整千的数,然后估算结果大约是多少。方法提示笔算时,一般把位数多的数放在上面。拓展提高一个因数乘或除以一个数0除外,另一个因数除以或乘相同的数,它们的积不变。要点提示三位数乘两位数,积最少是四位数,最多是五位数。二、数量关系式1单价、数量与总价之间的数量关系。单价、数量、总价的含义。单价某种商品单位数量的价格叫做单价。数量购买商品的件数叫做数量。总价一共花的钱数叫做总价。单价、数量与总价之间的数量关系。单价数量总价总价单价数量总价数量单价在这三个量中,已知其中的任意两个量,都能求出第三个量。2速度、时间与路程之间的数量关系。速度、路程的含义。速度单位时间内所行的路程,叫做速度。路程一定时间内所行的距离,叫做路程。速度、时间与路程之间的数量关系。速度时间路程路程时间速度路程速度时间在这三个量中,已知其中的任意两个量,都能求出第三个量。要点提示1. 用特殊的单位表示速度所行路程/单位时间。2. 理解“/”“/”是除号的一种表现形式,因为速度是单位时间内所行的路程,所以速度表示为“所行路程/单位时间”。3. 速度的读法按从左往右的顺序读,如120千米/时,读作120千米每时。三、乘法运算律1乘法交换律两个因数相乘,交换因数的位置,积不变。如果用a表示一个因数,b表示另一个因数,乘法交换律可以写成abba。2乘法结合律三个数相乘,先乘前两个数或先乘后两个数,积不变。如果用a、b、c分别表示三个数,乘法结合律可以写成abcabc。3乘法交换律和乘法结合律的应用。计算连乘时,如果其中两个数的积是整十、整百、整千的数,可以运用乘法交换律或乘法结合律先把这两个数相乘,再与其他的数相乘,这样计算起来比较简便。如251994254199100199199004乘法分配律及应用。乘法分配律的含义。两个数的和乘一个数,等于两个加数分别乘这个数,再相加。如果用a、b、c分别表示三个数,乘法分配律可以写成abcacbc。乘法分配律可以正用也可以逆用。当出现acbc时,如果ab的和恰好是整十、整百、整千的数,也可以逆用乘法分配律,即acbcabc。如38535362386253逆用乘法分配律100535300乘法分配律的拓展。当出现ac-bc或a-bc时,也可以运用乘法分配律,即ac-bca-bc。如10378-783103-3781007878005乘法的简便运算。两个数相乘,如果一个数接近整十、整百或整千的数,可以先将其转化成整十、整百或整千的数加减一个数的形式,再运用乘法分配律进行计算。如201872001872008787174008717487如果是特殊数如25、125等乘一个数,可以先利用转化法把另一个数转化成4乘几或8乘几的形式,再运用乘法结合律或乘法交换律进行计算。如1254812586100066000拓展提高多个因数相乘,任意交换因数的位置,积不变。如abcdbcad。易错题5047504507200350550错因分析此题错在混淆了乘法结合律和乘法分配律。当三个数连乘时,只能运用乘法交换律和乘法结合律。正确答案5047504720071400拓展提高两个数的差乘一个数,等于被减数和减数分别乘这个数,再把所得的积相减。四多边形的认识一、三角形1三角形的定义。在同一个平面内,由三条线段首尾顺次相连围成的封闭图形叫做三角形。2三角形的高和底。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高,这条边叫做三角形的底。 画高时要用虚线,还要标上垂直符号。3三角形的三边的关系三角形的任意两边之和大于第三条边。4三角形的特殊性质三角形具有稳定性。5三角形的分类。按角分类锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。按边分类不等边三角形、等腰三角形。其中等边三角形是特殊的等腰三角形。各类三角形的特征锐角三角形的三个角都是锐角;直角三角形中有一个角是直角;钝角三角形中有一个角是钝角;等腰三角形有两条边相等,两个底角相等;等边三角形的三条边都相等,三个角都是60;等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形。6三角形的内角和三角形的内角和是180。要点提示1.任意三角形都有三条高。2.判断三条线段能否围成三角形,要把较短的两条线段的和与最长的线段作比较,如果大于最长的线段,则能围成三角形,反之则不能。拓展提高在一个三角形中至少有两个锐角。二、平行四边形1平行四边形的定义。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2平行四边形的高和底。从平行四边形一条边上的任意一点向对边引一条垂线,这个点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高,这条对边叫做平行四边形的底。3平行四边形的特征两组对边分别平行且相等,两组对角分别相等。易错题判断一个用木条钉成的长方形框架 ,用手捏住它的一组对角向相反方向拉,长方形就变成了平行四边形,它的边长和周长都发生了变化。错因分析只是形状发生了变化,边长和周长没变。正确答案4平行四边形的特殊性质平行四边形具有不稳定性。5长方形、正方形和平行四边形的关系长方形和正方形都是特殊的平行四边形,正方形又是特殊的长方形。三、梯形1梯形的定义。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。分别平行的两条边叫做梯形的上底和下底,另外两条边叫做梯形的腰。2梯形的高。从梯形上底的任意一点向下底引一条垂线,这个点和垂足之间的线段叫做梯形的高。3等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形。在等腰梯形中同一底边上的两个底角相等,等腰梯形是轴对称图形。4直角梯形有一个内角是直角的梯形叫做直角梯形。由于梯形的上底和下底平行,所以直角梯形中有两个直角,与梯形的底互相垂直的腰就是直角梯形的高。要点提示1. 只能在梯形的上底和下底之间画高,不能在梯形的两个腰之间画高。2. 梯形有无数条高。拓展提高等腰梯形中,腰的长度可以和一个底的长度相等,即等腰梯形可以有三条边相等。四、组合图形由简单图形组合而成的图形就是组合图形。同一个组合图形可以分割成不同的简单图形,分割方法有多种。要点提示画分割线要用虚线,与原图形中的实线区分开。五分数的意义和性质一、分数的意义1一个物体或一些物体都可以看作一个整体。2把一个整体平均分成几份,其中的一份就可以用几分之一来表示,取其中的几份,就可以用几分之几来表示。3单位“1”的含义。一个物体或一些物体都可以看作一个整体,这个整体可以用自然数1来表示,通常把它叫做单位“1”。4分数的定义。把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。5分数单位的意义。把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数,叫做分数单位。如38的分数单位是18。6求部分量占总量的几分之几,用分数表示为部分量总量。7用直线上的点表示分数。在直线上不仅可以用点表示自然数,还可以用点表示分数。平均分的份数是分母,从0开始有这样的几份,分子就是几。8分数的大小比较。分母相同,分子大的分数大;分子相同,分母小的分数大。要点提示1.在分数中 ,分母表示把一个整体平均分成的份数,分子表示有这样的多少份。2.同一个整体,平均分成的份数不同,每一份所对应的物体个数也不同。温馨提示1.一个分数的分母越大,分数单位就越小;分母越小,分数单位就越大。2.在同一条直线上,右侧的点总是比左侧的点表示的分数大。二、分数与除法1分数与除法的关系。两个整数相除,可以用分数表示商,即被除数除数被除数除数 除数0,用字母表示为abab b0。反过来,分数也可以看作两个数相除,分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号。2分数与除法虽然有着密切的联系,但分数不等同于除法。除法是一种运算,分数是一个数。三、分数的基本性质1分数的基本性质。分数的分子和分母同时乘或除以相同的数0除外,分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。2分数的基本性质的应用。可以把不同分母的分数化成同分母的分数,也可以把一个分数化成指定分母的分数。3约分的定义。把一个分数化成与它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。4公因数及最大公因数的定义。几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个,叫做它们的最大公因数。5求两个特殊数的最大公因数。当两个数只有公因数1时,这两个数的最大公因数就是1;当两个数中,较大数是较小数的倍数时,较小数就是这两个数的最大公因数。如8和9的最大公因数是1;3和6的最大公因数是3。6约分的方法。先找到分子和分母的最大公因数,用最大公因数分别去除分子、分母,所得的商写在原分子、分母的上方、下方,并用斜线将原分子、分母画去。7最简分数的定义。分子和分母只有公因数1的分数,叫做最简分数。8用分解质因数的方法求最大公因数。先将这两个数分解质因数,再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数,公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。如30235,18233,则30和18的最大公因数是236。易错题判断分数的分子和分母同时乘或除以相同的数,分数的大小不变。错因分析此题错在没有说明同时乘或除以的数不能为0,如果同时乘或除以0,分数就没有意义了。正确答案要点提示分数不但可以表示部分与整体的数量关系,还可以表示具体的数量。当分数表示具体的数量时,后面可以加单位名称。重点提示1.约分时,把分数化简到分子、分母只有公因数1为止。2.用分数表示两个数之间的关系时,不带单位名称。易错题丽丽有4本童话书和6本科技书,童话书的本数是科技书的几分之几646432错因分析此题错在没有找准单位“1”,求童话书的本数是科技书的几分之几,说明科技书的本数是单位“1”。正确答案4646239用短除法求两个数的最大公因数的方法。把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数,连续去除这两个数,把除得的商写在该数的下方,一直除到两个数的商只有公因数1为止。最后把所有的除数相乘,所得的积就是这两个数的最大公因数。10求一个数是另一个数的几分之几的解题方法。求一个数是另一个数的几分之几,用除法计算,即一个数另一个数一个数另一个数,所得的结果能化成最简分数的要化成最简分数。四、分数加减法1同分母分数连减的计算方法。分母不变,直接用被减数的分子连续减去减数的分子;也可以按照整数连减的运算顺序从左往右计算。2同分母分数加减混合运算的计算方法。计算没有小括号的同分母分数加减法,分母不变,只把分子相加减;如果有小括号,要先算小括号里面的。3在分数加减法的计算过程中,如果出现1,可以根据需要把1化成与其他分数的分母相同的分数分子和分母相同,最后结果要化成最简分数。要点提示在计算相关分数加减法时,如果没有特殊要求,计算结果一般要用最简分数表示。六小数的认识一、小数的认识1小数的产生。人们在测量和计算时,得到的结果往往不是整数,常常用小数来表示。2小数的组成。小数是由整数部分、小数点和小数部分组成的,小数点左边是整数部分,小数点右边是小数部分。3小数的位数。小数的小数部分有几个数字就是几位小数。如2.15的小数部分有两个数字,所以2.15是两位小数。易错题判断3.2是两位小数。错因分析此题错在没有掌握小数位数的判断方法。小数的小数部分有几个数字就是几位小数,因此3.2是一位小数。正确答案二、小数的意义1把一个整体平均分成10份、100份、1000份这样的1份或几份可以用分母是10、100、1000的分数来表示,也可以用小数来表示。2分母是10的分数可以用一位小数来表示,分母是100的分数可以用两位小数来表示,分母是1000的分数可以用三位小数来表示。3分数改写成小数的方法。先看小数是几位小数,就在1后面添上几个0作分母;把原来的小数去掉小数点后作分子;能约分的要约分。易错题填空271000米0.27米错因分析此题错在没有理解分数与小数之间的关系。正确答案0.027温馨提示把分母是1000的分数转化成小数,一定是个三位小数。如果分子不是三位数,改写成小数时,要添0补位。三、小数的读写和大小比较1小数的数位小数和整数一样,也是按照一定的顺序排列起来的,它们所占的位置叫小数的数位。小数点右边第一位是十分位,表示十分之几;第二位是百分位,表示百分之几;第三位是千分位,表示千分之几每相邻的两个计数单位间的进率都是10。2小数的读法先读整数部分,按照整数的读法来读,如重点提示整数部分的最低位是个位,没有最高位;小数部分的最高位是十分位,没有最低位。因此没有最大的整数,也没有最小的小数。果整数部分是0,就直接读作“零”;中间的小数点读作“点”;小数部分按照从左往右的顺序依次读出每个数位上的数字,小数部分有几个0就读出几个零。3小数的写法先写整数部分,按照整数的写法来写,如果整数部分是“零”,就直接写0,再在个位的右下角点上小数点,最后依次写出小数部分每个数位上的数字。4小数可以用直线上的点来表示,直线上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数。5小数比较大小的方法先比较整数部分,整数部分大的那个小数就大;整数部分相同,就比较十分位,十分位上大的那个小数就大;十分位也相同,再比较百分位,百分位上大的那个小数就大易错题153.006读作一百五十三点零六错因分析此题错在没有掌握小数部分0的读法。正确答案一百五十三点零零六温馨提示读小数部分时,一定要把所有的0都一一读出来。四、小数的性质小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。五、数的改写把较大的数改写成以“万”或“亿”为单位的小数的方法先确定万位或亿位,在万位或亿位的右下角点上小数点,再利用小数的性质去掉小数末尾的0,最后在所得结果的后面写上“万”字或“亿”字。要点提示小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变,但是小数本身的意义会改变。重点提示将不够1万的数改写成以“万”为单位的数时,整数部分用0来占位。七复式条形统计图一、复式条形统计图的意义用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直条按一定的顺序排列起来,从复式条形统计图中很容易看出两种数量的多少。二、 复式条形统计图的制作方法复式条形统计图的制作方法与单式条形统计图基本相同,只是在每组数中都有两组数据,需要用两种不同颜色或底纹的直条来表示,同时要注明图例。三、单式条形统计图和复式条形统计图的区别1单式条形统计图中的每组数据只有一个直条,反映的是一种事物的数据;复式条形统计图中的每组数据都有两个直条,反映的是两种事物的数据。2复式条形统计图反映的是两种事物的数据,为了便于区别和比较这两组数据,增加了图例。四、读统计图1统计图有多种表现形式,当统计数据的值比较大,不同样本统计数据之间的差异又相对较小时,为了直观地反映这种差异性,采取起始格表示比较大的单位量,而其他格表示较小的单位量的方式,中间用折线断开。2读统计图时,可以运用横向、纵向、综合、对比等不同方法进行观察、比较,能从统计图中发现问题并解决问题,能根据统计图进行合理的预测。重点提示1.在绘制复式条形统计图时,为了便于观察、比较,一定要在统计图的右上方注明图例,还要注意单位长度要统一,相同长度的线段所代表的数量要相同。2.读统计图时,要根据图例找准相应的数据。八小数加法和减法一、小数的进位加法和退位减法1小数进位加法的计算方法。小数加法与整数加法的计算方法相同,首先把相同数位对齐,也就是小数点对齐。在小数加法中,只要先把小数点对齐,就能保证相同数位对齐。从最低位加起,哪一位相加满十,就要向它的前一位进1。在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。得数的末尾如果有0,一般要把0去掉。2小数退位减法的计算方法。相同数位对齐,也就是小数点对齐,从最低位减起,哪一位不够减,要从前一位退1,在本位上加10再减,如果得数的末尾有0,一般要把0去掉。重点提示1.小数点对齐后再进行相应的计算。2.计算小数减法时,当被减数的小数位数比减数的小数位数少时,被减数的末尾要用0补足。二、小数的连加和简便运算1小数连加的估算估算小数连加时,可以按照四舍五入法把每个小数看成与它接近的整数进行计算。如果其中两个小数的和正好是整数,也可以先把这两个小数相加,再把所得的结果与其他估算后的数相加。2计算小数连加时,既可以列竖式计算,也可以根据小数的特点灵活选择简便算法进行脱式计算。3整数加法的运算定律同样适用于小数。加法交换律abba加法结合律abcabc方法提示把小数估算成整数,关键看十分位上的数,大于或等于5,向前一位进1再舍去;小于5,则舍去。三、小数的连减和加减混合运算1小数连减的计算方法既可以列竖式计算,也可以按照从左往右的顺序或根据减法的性质进行脱式计算。2小数的加减混合运算与整数加减混合运算的运算顺序相同,有小括号的先算括号里面的,没有小括号的按照从左往右的顺序计算。要点提示减法的性质用字母表示为a-b-ca-bc。九探 索 乐 园一、图形的规律1多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的关系。n边形中所画线段的条数n-3;n边形中分割成的三角形的个数n-2n3。2多边形的边数与多边形的内角和之间的关系。如果多边形的边数确定,就可以用边数减2求出分割成的三角形的个数,用分割成的三角形的个数乘180就是多边形的内角和,即n边形的内角和180n-2n2。3组成的图形中,图号、每边扣子个数与扣子总数三者之间的关系。在由扣子组成的图形中,图号、每边扣子个数与扣子总数三者之间的关系是每边扣子个数n1n代表图号,扣子总数n3n代表图号;每边扣子个数与扣子总数的关系是扣子总数m-13m代表每边扣子个数。重点提示三角形的内角和是180。二、乘法运算的规律1探索两个数的乘积最大和最小的问题。三位数乘两位数,乘积最大用五个不同的数字不包括0组成一个三位数和一个两位数,要使乘积最大,应满足三位数中百位上是次大数,十位上是中间数,个位上是最小数;两位数中十位上是最大数,个位上是次小数。三位数乘两位数,乘积最小用五个不同的数字不包括0组成一个三位数和一个两位数,要使乘积最小,应满足三位数中百位上是次小数,十位上是次大数,个位上是最大数;两位数中十位上是最小数,个位上是中间数。2由1组成的两个相同因数相乘的积的规律。一个因数中有几个1,积就从1开始顺次写到几,然后再递减写到1每个因数中1的个数都不大于9。拓展提高三位数乘两位数,乘积最大或最小时,先把这五个数字按从大到小的顺序排列,即,最大数对应,依此类推。则乘积最大是和;乘积最小是和。
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