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专题复习“几何最值问题”河源中学实验学校 黄孝荣2019.5.一、教材分析几何中的最值问题变幻无穷，教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径，核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素，从这些已知的不变元素，运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”等知识源，实现问题的转化与解决。二、教学目标学会准确审题，根据题意画出满足条件的图形，并能计算出最值。掌握解决求一类几何最值问题的方法，会解相关的最值题，培养运用转化思想、变与不变思想解决问题的能力。三、核心思想方法由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。四、复习过程（一）、知识准备1、两点之间，_______________；如图1中线段AB；2、直线外一点到直线上所有点的连线中，______________最短；如图2中线段AD；3、三角形两边之和_________第三边，两边之差__________第三边；如图3；（图1） （图2） （图3）（通过三个小问题回忆起初中三年学过的几个跟本节课有关的公理或定理，为整节课打下一个思维的基础。）（二）、几何最值题型（一）一定一动型【例1】如图4，圆O半径为5，弦AB8，点M是弦AB上的一动点，则线段OM的最小值是_____（九年级下学期刚学完圆，同学们对圆的相关知识还比较熟悉，借助此题展示“一定一动型”最值题型。点O为定点，点M为线段上的动点，自然的引出垂线段最短公理的应用。）【例2】如图5，在ABC中，AB3，AC4，BC5，点P为边BC上一动点，PEAB于点E，PFAC于点F，则EF的最小值为_______；（一道综合性很强的小题，考察了勾股定理逆定理、矩形判定、矩形性质、等面积法等核心知识最重要的是转化思想、运动过程中的变化与不变思想在此题中的应用 ） （图5） 【方法总结】1、对于一定一动型最值问题，一般采取公理“垂线段最短”来画出此时的图形；2、利用勾股定理、等面积法、相似等知识计算出最小值；3、转化思想、变与不变思想在题目中的应用。（三）、几何最值题型二两定一动型【知识引入】如图，在直线m上找一点P，使PAPB的值最小（1） 点A、B在m异侧 （2）点A、B在m同侧（在老师引导下，学生思考探究，特别是同侧两点的最值问题，给与学生充分思考和交流时间，最后利用几何画板技术展示动画过程，学生能深刻领会通过对称这种转化手段将同侧两点变为异侧两点）【例1】如图6，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上一动点，则DNMN的最小值为_______；（在正方形情景下渗透同侧两点（即“将军饮马”型）最值问题。通过此题让学生领悟在对称D点时更加优越。B、D两点为正方形中天然的对称点） （（图6）【例2】如图7，在平面直角坐标系中，点P是直线yx上的动点，A（1，0）、B（2，0）是x轴上两点，则PAPB的最小值为________此时点P的坐标为_______；（在坐标系函数环境下渗透同侧两点（即“将军饮马”型）最值问题。让同学们感受在此题中对称A点、B点可以达到同等效果。本题可用相似法、交点法、三角函数法等多种方法求点P的坐标） （图7）【合作探究】根据例1、例2的启发请设计求两条线段之和最小值问题（用图形展示，并简单说明条件及所求哪两条线段之和）（学生先独立思考，再小组合作展示出本组创作成果。一改传统的老师直接给题模式，而是由学生根据例1、例2的启示自我编题，加深对数学本质的理解，符合核心素养下的教学观。一方面，激活思维活力，培养学生发现问题和提出问题的能力。另一方面积累应用模型的经验。）【方法总结】1、 将异侧两点通过对称转化为同侧两点；（转化思想）2、题目展现出的情景不同，但是将军饮马型的最值问题本质相同；【拓展提升】如图8所示，已知平面直角坐标系中，点A（2，-3）、B（4，-1），若P（x，0）是x轴上的一个动点.（1） 根据已知条件，你能提出哪些问题（2） 若Q（0，y）是y轴上一动点，请问是否存在这样的点P（x，0），Q（0，y），使四边形ABPQ的周长最短若存在，求出x、y的值.（3） 若P（x，0）、Q（x3，0）是x轴上的两个动点，则当x___时，四边形ABPQ的周长最短（第一问学生可能会有多种不同的问题，比如形成的等腰三角形、直角三角形、将军饮马型最值问题；体现发散性思维。）（第二问在老师的引导下，对称两个点，将三条变化的边长集合在同一条线上。（两定两动变为两定一动） （图8）（第三问有难度，需要通过平移转化，引导学生发现变化中的不变（即PQ的长为定值）三个问题设计逐级而上，有利于激发学生深度思考。）（四）、课后作业1、如图9，抛物线与x轴交于B、C点，与y轴交于点A.顶点为D（1）A坐标为____；B坐标为______；C坐标为______；（2）抛物线的对称轴为________；顶点坐标为________；（3）点M是x轴上一点，当MAMD取最小值时，点M的坐标为_____；（4）点P是对称轴上一点，当PAPB达到最小值时，则P的坐标为_______； （图9） （备用图1） 2、如图10，在平面直角坐标系中，P为直线上一动点，点A为（6，0），当AP取最小值时，P的坐标为_____； （图10） 3、如图11，在ABC中，ABAC5，BC6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为__________； （图11）4、如图12，等腰RtABC中，ACB90，ACBC4，C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为_____； （图12）5、如图13，已知圆O的直径CD为4，AOD的度数为60，点B为的中点，在直径CD上找一点P，使得BPAP的值最小，并求BPAP的最小值； （图13）6、如图14，点A、B均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示，若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，则点P的坐标为___________ （图14）7、如图15，线段AB的长为4，C为线段AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE的长最小值为_______； （图15）6
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