资源描述：
y 15x 2 1 4 - x c ab a bc 3 x 3 - x x - 4 5xy y a m - n m n 15x 2 abc x（x 2） x 2 4 MULU 目 录 第一章 因式分解 1 因式分解 2 提公因式法 3 公式法 回顾与思考 复习题 第二章 分式与分式方程 1 认识分式 2 分式的乘除法 3 分式的加减法 4 分式方程 回顾与思考 复习题 2 5 9 16 16 因式分解号因式分解号整式乘法号整式乘法号 a 2 2ab ab b b 2 （ a （a b） b） 2 a 2 - 2ab ab b b 2 （ a （a - b） b） 2 （ a （a b） b） 2 a 2 2ab ab b b 2 （ a （a - b） b） 2 a 2 - 2ab ab b b 2 20 25 29 37 44 44 48 54 57 62 70 71 第三章 数据的分析 1 平均数 2 中位数与众数 3 从统计图分析数据的集中趋势 4 数据的离散程度 回顾与思考 复习题 78 91 100 106 113 113 第五章 平行四边形 1 平行四边形的性质 2 平行四边形的判定 3 三角形的中位线 4 多边形的内角和与外角和 回顾与思考 复习题 综合与实践 平面图形的镶嵌 总复习题 120 127 137 143 148 149 153 158 综合与实践 哪个城市夏天更热 75 第四章 图形的平移与旋转 1 图形的平移 2 图形的旋转 3 中心对称 4 图形变化的简单应用 回顾与思考 复习题 1 因式分解 1 第一章 因式分解 你能把 99 3 -99 化成几个整数的乘积的形式吗类似地，你能把 a 3 -a 化 成几个整式的乘积的形式吗 本章将研究如何把一个多项式分解成若干个整式的乘积的形式，你将体会 到这一过程与整式乘法运算的联系. 学习目标 体会因式分解的意义 能运用提公因式法和公式法进行因式分解，发展运算能力 体会因式分解与整式乘法之间的联系与区别 因式分解号 整式乘法号 a 2 2 ab b 2 （a b ） 2 a 2 - 2 ab b 2 （a - b ） 2 （a b） 2 a 2 2ab b 2 （a - b） 2 a 2 - 2ab b 2 2 第一章 因式分解 1 因式分解 99 3 -99 能被 100 整除吗你是怎样想的与同伴进行交流. 小明是这样做的 99 3 -99 99 99 2 -99 1 99（99 2 -1） 99 （99 -1）（99 1） 98 99 100. 所以，99 3 -99 能被 100 整除. 在这里，解决问题的关键是把算式 99 3 - 99 化成了几个数的积的形式. 99 3 -99 还能被 哪些正整数整除 你能尝试把 a 3 -a 化成几个整式的乘积的形式吗与同伴进行交流. 做一做 观察下面的拼图过程，写出相应的关系式. 议一议 a b c （1） _________________________________________________________________ . m m m m b a c 1 因式分解 3 _________________________________________________________________ . 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做 因式分解 （ factorization） . 例如，a 3 -aa（ a1）（ a-1）， ambmcmm（ a b c），x 2 2x1 （x 1） 2 都是因式分解. 因式分解也可称为分解因式. 做一做 做一做 计算下列各式 （1）3x（x -1） ___________； （2）m（a b-1） ___________； （3）（ m4）（ m-4） ___________；（4）（ y-3） 2 ___________. 根据上面的算式填空 （1）3x 2 -3x （ ）（ ）； （2）ma mb-m （ ）（ ）； （3）m 2 -16 （ ）（ ）； （4）y 2 -6y9 （ ）（ ） . 举例说明因式分解与整式乘法之间的关系. 随堂练习 1. 连一连 （2） 111 x x 1 x 1 x x x 1 x 2 -y 2 （x 1） 2 9-25x 2 y（x -y） x 2 2x1 （3 -5x）（ 35x） xy-y 2 （x y）（ x-y） 4 第一章 因式分解 2. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解为什么 （1）（ a3）（ a-3） a 2 -9； （2）m 2 -4 （m 2）（ m-2）； （3）a 2 -b 2 1 （a b）（ a-b） 1；（4）2mR 2mr2m（R r） . 习题1.1 知识技能 数学理解 1. 连一连 5.（1）1 999 2 1 999 能被 1 999 整除吗能被 2 000 整除吗 （2）16.9 1 8 15.1 1 8 能被 4 整除吗 2. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解 （1）a（x y） ax ay； （2）10 x 2 - 5x 5x（2x - 1）； （3）y 2 - 4y 4 （y - 2） 2 ； （4）t 2 - 16 3t （t 4）（t - 4） 3t. 3. 求代数式 IR 1 IR 2 IR 3 的值，其中 R 1 16.2，R 2 32.4，R 3 35.4，I 2.5. 4. 将下列四个图形，拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解. x x1 1 （第 4 题） 问题解决 x 2 4x 4 （x 2）（x - 2） x 2 - 2x 1 （x - 1）（x 1） 4x 2 - 1 （x - 1） 2 x 2 - 1 （x 2） 2 x 2 - 4 （2x - 1）（2x 1） x x 2 2 2 提公因式法 5 议一议 （1）多项式 2x 2 6x 3 中各项的公因式是什么 （2）你能尝试将多项式 2x 2 6x 3 因式分解吗与同伴进行交流. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从 而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫做提公因式法. 例1 把下列各式因式分解 （1）3x x 3 ； （2）7x 3 -21x 2 ； （3）8a 3 b 2 -12ab 3 cab. 解 （1）3x x 3 x3 xx 2 x（3 x 2 ）； （2）7x 3 -21x 2 7x 2 x -7x 2 3 7x 2 （x -3）； （3）8a 3 b 2 -12ab 3 cabab8a 2 b-ab12b 2 cab1 ab（8a 2 b-12b 2 c1） . 2 提公因式法 多项式 abbc 各项都含有相同的因式吗多项式 3x 2 x 呢多项式 mb 2 nb-b 呢尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流 . 多项式 abbc 的各项都含有相同的因式 b. 我们把多项式各项都含有的 相同因式，叫做这个多项式各项的公因式（ common factor） . 如 b 就是多项式 abbc 各项的公因式. 6 第一章 因式分解 想一想 （1）提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系 （2）如何确定多项式各项的公因式 随堂练习 把下列各式因式分解 （1）ma mb； （2）5y 3 20y 2 ； （3）6x -9xy； （4）a 2 b-5ab； （5）4m 3 -6m 2 ； （6）a 2 b-5ab9b； （7）3a 2 y-3ay6ay 2 ； （8）10a 2 x-15a 2 y5a 2 . 习题1.2 知识技能 1. 把下列各式因式分解 （1）2x 2 -4x； （2）8m 2 n2mn； （3）a 2 x 2 y-axy 2 ； （4）3x 3 -3x 2 -9x； （5）12a 2 b-9ab 2 -15a 2 b 2 ； （6）2a 2 b 2 c 3 -4ab 2 c 3 6a 2 bc 3 ； （7）56ax 2 y14ax 2 y 2 -21a 2 xy 2 ； （8）15x 3 y 3 5x 2 y 2 -20 x 2 y 3 . 2. （1）利用因式分解进行计算 mR 1 2 mR 2 2 mR 3 2 ，其中R 1 20，R 2 16，R 3 12，m 3.14； （2）求 xz -yz 的值，其中 x 17.8，y 28.8，z 7 11 ； （3）已知 ab 7，a b6，求多项式 a 2 bab 2 的值. 数学理解 3. 下列因式分解是否正确为什么 （1）2n 2 -nm-n2n（n -m-1）； （2） -ab 2 2ab-3b-b（ab -2a-3）； （3）x（x -y） -y（x -y） （x -y） 2 ； （4）a 2 -a-2a（a -1） -2. 2 提公因式法 7 问题解决 4. 利用简便方法计算 （1）121 0.1312.1 0.9-12 1.21； （2）2.34 13.20.66 13.2-26.4. 做一做 例2 把下列各式因式分解 （1）a（x -3） 2b（x -3）； （2）y（x 1） y 2 （x 1） 2 . 解 （1）a（x -3） 2b（x -3） （x -3）（ a2b）； （2）y（x 1） y 2 （x 1） 2 y（x 1） y（x 1） y（x 1）（ xyy1） . 请在下列各式等号右边的括号前填入“ ”或“ -”，使等式成立 （1）2 -a________（a -2）； （2）y -x________（x -y）； （3）b a________（a b）； （4）（ b-a） 2 ________（a -b） 2 ； （5） -m-n________（m n）； （6） -s 2 t 2 ________（s 2 -t 2 ） . 你发现了什么规律与同伴进行交流. 例3 把 -4m 3 12m 2 -6m 因式分解. 解 -4m 3 12m 2 -6m -（4m 3 -12m 2 6m） -（2m2m 2 -2m6m 2m3） -2m（2m 2 -6m3） . 当 多 项 式 第 一 项 的 系 数是负数时，通常先提出 “ -”号，使括号内第一 项的系数成为正数 . 在提出 “ -”号时，多项式的各项 都要变号. 8 第一章 因式分解 例4 把下列各式因式分解 （1）a（x -y） b（y -x）； （2）6（m -n） 3 -12（n -m） 2 . 解 （1）a（x -y） b（y -x） a（x -y） -b（x -y） （x -y）（ a-b）； （2）6（m -n） 3 -12（n -m） 2 6（m -n） 3 -12（m -n） 2 6（m -n） 2 （m -n-2） . 随堂练习 把下列各式因式分解 （1）x（a b） y（a b）； （2）3a（x -y） -（x -y）； （3） -a 2 ab-ac； （4） -2x 3 4x 2 2x； （5）6（p q） 2 -12（q p）； （6）a（m -2） b（2 -m）； （7）2（y -x） 2 3（x -y）； （8）mn（m -n） -m（n -m） 2 . 习题1.3 知识技能 1. 把下列各式因式分解 （1） -24x 3 12x 2 -28x； （2） -4a 3 b 3 6a 2 b-2ab； （3） -2x 2 -12xy 2 8xy 3 ； （4） -3a 3 m6a 2 m-12am. 2. 把下列各式因式分解 （1）7（a -1） x（a -1）； （2）3（a -b） 2 6（b -a）； （3）2（m -n） 2 -m（m -n）； （4）x（x -y） 2 -y（y -x） 2 ； （5）m（a 2 b 2 ） n（a 2 b 2 ）； （6）（ 2ab）（ 2a-3b） -3a（ 2ab）； （7）18（a -b） 3 -12b（b -a） 2 ； （8）x（x y）（ x-y） -x（x y） 2 . 3. 先因式分解，再计算求值 （1）4x（m -2） -3x（m -2），其中 x 1.5，m 6； （2）（ a-2） 2 -6（2 -a），其中 a -2. 3 公式法 9 3 公式法 观察多项式 x 2 -25， 9x 2 -y 2 ，它们有什么共同特征尝试将它们分别写 成两个因式的乘积，并与同伴进行交流. 事实上，把乘法公式（a b）（ a-b） a 2 -b 2 反过来，就得到 a 2 -b 2 （a b）（ a-b） . 问题解决 4. 某大学有三块草坪，第一块草坪的面积为（ ab） 2 m 2 ，第二块草坪的面积 为 a（ ab） m 2 ，第三块草坪的面积为 b（ ab） m 2 ，求这三块草坪的总面积. 5. 已知实数 a，b 满足 ab 3，a -b2，求代数式 - 2 3 a 4 b 3 2 3 a 3 b 4 的值. 例1 把下列各式因式分解 （1）25 -16x 2 ； （2）9a 2 - 1 4 b 2 . 解 （1）25 -16x 2 5 2 - （4x） 2 （5 4x）（ 5-4x）； （2）9a 2 - 1 4 b 2 （3a） 2 - （ 1 2 b） 2 （3a 1 2 b）（ 3a- 1 2 b） . 例2 把下列各式因式分解 （1）9（m n） 2 - （m -n） 2 ； （2）2x 3 -8x. 解 （1）9（m n） 2 - （m -n） 2 3（m n） 2 - （m -n） 2 3（m n） （m -n）3（m n） -（m -n） 10 第一章 因式分解 （3m 3nm-n）（ 3m3n-mn） （4m 2n）（ 2m4n） 4（2m n）（ m2n）； （2）2x 3 -8x2x（x 2 -4） 2x（x 2 -2 2 ） 2x（x 2）（ x-2） . 当多项式的各项含有公 因式时，通常先提出这个公因 式，再进一步因式分解. 随堂练习 1. 判断正误 （1）x 2 y 2 （x y）（ xy）； （ ） （2）x 2 -y 2 （x y）（ x-y）； （ ） （3） -x 2 y 2 （ -xy）（ -x-y）； （ ） （4） -x 2 -y 2 -（x y）（ x-y） . （ ） 2. 把下列各式因式分解 （1）a 2 b 2 -m 2 ； （2）（ m-a） 2 -（n b） 2 ； （3）a 2 - （a b-c） 2 ； （4） -16x 4 81y 4 . 3. 如图，在一块边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪 去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积 . 如 果 a 3.6，b 0.8 呢 习题1.4 知识技能 1. 把下列各式因式分解 （1）a 2 -81； （2）36 -x 2 ； （3）1 -16b 2 ； （4）m 2 -9n 2 ； （5）0.25q 2 -121p 2 ； （6）169x 2 -4y 2 ； （7）9a 2 p 2 -b 2 q 2 ； （8） 49 4 a 2 -x 2 y 2 . a b （第 3 题） 3 公式法 11 形如 a 2 2abb 2 的 式子称为完全平方式. 问题解决 3. 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是 R cm 和 r cm，求它们所围成的环形的面积 . 如果 R8.45，r 3.45 呢（ 取 3.14） 把乘法公式（a b） 2 a 2 2abb 2 ，（a -b） 2 a 2 -2abb 2 反过来， 就得到 a 2 2abb 2 （a b） 2 ，a 2 -2abb 2 （a -b） 2 . 由因式分解与整式乘法的关系可以看出， 如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某 些多项式因式分解 . 通常我们把运用乘法公式 进行因式分解的方法叫做公式法. r R （第 3 题） 2. 把下列各式因式分解 （1）（ mn） 2 -n 2 ； （2）49（a -b） 2 -16（a b） 2 ； （3）（ 2xy） 2 - （x 2y） 2 ； （4）（ x 2 y 2 ） 2 -x 2 y 2 ； （5）3ax 2 -3ay 4 ； （6）p 4 -1. 例3 把下列完全平方式因式分解 （1）x 2 14x49； （2）（ mn） 2 -6（m n） 9. 解 （1）x 2 14x49x 2 2 7x7 2 （x 7） 2 ； （2）（ mn） 2 -6（m n） 9 （m n） -3 2 （m n-3） 2 . 例4 把下列各式因式分解 （1）3ax 2 6axy3ay 2 ； （2） -x 2 -4y 2 4xy. 12 第一章 因式分解 随堂练习 1. 下列多项式中，哪几个是完全平方式请把是完全平方式的多项式因式分解 （1）x 2 -x 1 4 ； （2）9a 2 b 2 -3ab1； （3） 1 4 m 2 3mn9n 2 ； （4）x 6 -10 x 3 -25. 2. 把下列各式因式分解 （1）x 2 -12xy36y 2 ； （2）16a 4 24a 2 b 2 9b 4 ； （3） -2xy-x 2 -y 2 ； （4）4 -12（x -y） 9（x -y） 2 . 读一读 智慧数 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”. 例如，16 5 2 -3 2 ，16 就是一个智慧数. 在正整数中，从 1 开始，第 2 012 个智慧数是 哪个数 小颖的方法是一个一个找出来 32 2 -1 2 ，5 3 2 -2 2 ，7 4 2 -3 2 ， 83 2 -1 2 ，9 5 2 -4 2 ，11 6 2 -5 2 ， 小明认为小颖的方法太麻烦. 他想到 设 k 是正整数，由于 （k 1） 2 -k 2 （k 1k）（k1-k）2k1， 所以，除 1 外，所有的奇数都是智慧数. 解 （1）3ax 2 6axy3ay 2 3a（x 2 2xyy 2 ） 3a（x y） 2 ； （2） -x 2 -4y 2 4xy-（x 2 4y 2 -4xy） -（x 2 -4xy4y 2 ） -x 2 -2x2y （2y） 2 -（x -2y） 2 . 3 公式法 13 又因为（k 1） 2 -（k -1） 2 （k 1k-1）（k1-k1）4k， 所以，除 4 外，所有能被 4 整除的偶数都是智慧数. 还剩什么数没搞清楚呢还剩被 4 除余 2 的数. 试一下，2，6，10 都不是智慧数. 能否下结论被 4 除余 2 的正整数都不是智慧 数不行特殊不能代替一般. 那怎么办呢小明“卡壳”了 小亮认为，如果 4k 2 是智慧数，那么必有两个正整数 m 和 n，使得 4k2m 2 -n 2 ， 即 2（2k 1）（m n）（m-n）. （ * ） 因为 mn 和 m-n 这两个数的奇偶性相同，所以（ * ）式右边要么是 4 的倍数， 要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是 4 的倍数，可见左、右两边不相等. 所以 4k2 不是智慧数，即被 4 除余 2 的正整数都不是智慧数. 至此，问题就比较清楚了，把从 1 开始的正整数依次每 4 个分成一组，除第一组 有 1 个智慧数外，其余各组都有 3 个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数. 有了这些结论，再找第 2 012 个智慧数就容易多了同学们，你们知道这个智慧 数是多少吗 习题1.5 知识技能 1. 把下列各式因式分解 （1）x 2 y 2 -2xy1； （2）9 -12t4t 2 ； （3）y 2 y 1 4 ； （4）25m 2 -80m64； （5） x 2 4 xyy 2 ； （6）a 2 b 2 -4ab4. 2. 把下列各式因式分解 （1）（ xy） 2 6（x y） 9； （2）a 2 -2a（b c） （b c） 2 ； （3）4xy 2 -4x 2 y-y 3 ； （4） -a2a 2 -a 3 . 14 第一章 因式分解 数学理解 问题解决 3. 已知多项式 x 2 1 与一个单项式的和是一个整式的完全平方，请你找出一个满 足条件的单项式. 4. 两个连续奇数的平方差能被 8 整除吗为什么 想一想 多项式 x（x 6） 9 能因式分解吗与同伴进行交流. 例5 把 y（y 4） -4（y 1）因式分解. 解y（y 4） -4（y 1） y 2 4y-4y-4 y 2 -4 （y 2）（ y-2） . 例6 把（x 2 1） 2 -4x 2 因式分解. 解 （x 2 1） 2 -4x 2 （x 2 1） 2 - （2x） 2 （x 2 2x1）（ x 2 -2x1） （x 1） 2 （x -1） 2 . 议一议 多项式因式分解的一般步骤是什么与同伴进行交流. 3 公式法 15 1. 把下列各式因式分解 （1）a（a -2） 1； （2）m（m 9） -9（m 1）； （3）x（4 -x） -4. 2. 把下列各式因式分解 （1）x 4 -2x 2 1； （2）（ y 2 9） 2 -36y 2 ； （3）2（x 2 - 1 2 ） -x 4 . 随堂练习 读一读 可化为 x 2 （ ab） xab型的二次三项式的因式分解 利用多项式的乘法法则，可以得到 （x a）（xb）x 2 （a b）x ab. 反过来，则有 x 2 （a b）x ab（x a）（xb）. 这就是说，对一个二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 mxn，如果能够把常数 项 n 分解成两个因数 a，b 的积，并且 a 与 b 的和恰好等于一次项的系数 m，那么，这 个二次三项式就可以分解成（x a）（xb）的积，即 x 2 mxn（x a）（xb）， 其中，ab n，a bm. 例 把二次三项式 x 2 -4x-12 因式分解. 分析常数项- 12 可以分解为 -121 （-12）（-1） 12 2 （-6）（-2） 6 3 （-4）（-3） 4， 其中，恰有 2 （-6）-4. 解 x 2 -4x-12 （x 2）x （-6） （x 2）（x-6）. 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来. 同学们可以仿照上 述方法将二次三项式 x 2 2x-15 因式分解. 16 第一章 因式分解 回顾与思考 1. 举例说明什么是因式分解. 2. 因式分解与整式乘法有什么关系 3. 因式分解常用的方法有哪些 4. 用适当的方式梳理本章的知识，并与同伴进行交流. 复习题 知识技能 1. 把下列各式因式分解 （1）7x 2 -63； （2）a 3 -a； （3）3a 2 -3b 2 ； （4）y 2 -9（x y） 2 ； （5）a（x -y） -b（y -x） c（x -y）； （6）x（m n） -y（n m） （m n）； 习题1.6 知识技能 1. 把下列各式因式分解 （1）（ x1） 2 -4x； （2）（ mn） 3 -4（m n）； （3）（ x1）（ x-1） -3； （4）（ x2）（ x3） 1 4 . 2. 把下列各式因式分解 （1）x 4 -8x 2 y 2 16y 4 ； （2）（ b 2 c 2 ） 2 -4b 2 c 2 ； （3）（ x 2 -2） 2 -4； （4）x 4 -18x 2 81. 复习题 17 （7）（ xy） 2 -16（x -y） 2 ； （8）a 2 （a -b） 2 -b 2 （a b） 2 ； （9）（ xyz） 2 - （x -y-z） 2 ； （10）（ xy） 2 -14（x y） 49. 2. 把下列各式因式分解 （1）a 2 b 2 -0.01； （2）x 2 y-2xy 2 y 3 ； （3）16 - （2a 3b） 2 ； （4）（ a 2 4） 2 -16a 2 ； （5）x 2 -xy 1 4 y 2 ； （6）a 2 x 2 16ax64； （7）a 4 -8a 2 b 2 16b 4 ； （8）9a 2 -6a（a b） （a b） 2 . 3. 先因式分解，然后计算求值 （1）9x 2 12xy4y 2 ，其中 x 4 3 ，y - 1 2 ； （2）（ a b 2 ） 2 - （ a - b 2 ） 2 ，其中 a - 1 8 ，b 2. 4. 把下列各式因式分解 （1）2x 2 2x 1 2 ； （2）（ x1）（ x2） 1 4 . 问题解决 数学理解 7. 利用因式分解计算 （1）2 2 014 -2 2 013 ； （2）（ -2） 101 （ -2） 100 . 8. 如图，在半径为 R 的圆形钢板上，冲去半径为 r 的四个小圆，利用因式分解计算当 R7.8 cm，r 1.1 cm 时剩余部分的面积（ 取 3.14） . （第 8 题） 5. 利用因式分解说明25 7 -5 12 能被 120 整除. 6. 已知 x y 1，求 1 2 x 2 xy 1 2 y 2 的值. l dD （第 9 题） 18 第一章 因式分解 9. 如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d45 cm，外径 D 75 cm，长 l 300 cm. 利用因式分解计算浇制一节这样的管 道约需要多少立方米的混凝土（ 取 3.14，结果精确到 0.01 m 3 ） . 10. 已知正方形的面积是 9x 2 6xyy 2 （x 0，y 0），利用因式分解写出表示该正 方形的边长的代数式. 11. 当 x 取何值时，多项式 x 2 2x1 取得最小值 12. 正方形的周长比正方形的周长长 96 cm，它们的面积相差 960 cm 2 . 求这两个 正方形的边长. 联系拓广 13. 当 k 取何值时，100 x 2 -kxy49y 2 是一个完全平方式 14. 计算下列各式 （1）1 - 1 2 2 _________； （2）（ 1- 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ） _________； （3）（ 1- 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ）（ 1- 1 4 2 ） _________. 你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗请你利用你找到的简便方法 计算下式 （1 - 1 2 2 ）（ 1- 1 3 2 ）（ 1- 1 4 2 ）（1 - 1 9 2 ）（ 1- 1 10 2 ）（1 - 1 n 2 ） . 15. 2 48 -1 可以被 60 和 70 之间的某两个数整除，求这两个数. 1 认识分式 19 第二章 分式与分式方程 y 15x 2 1 4 - x c ab a bc 3 x 3 - x x - 4 5xy y a m - n m n 15x 2 abc x（x 2） x 2 4 学习目标 了解分式的概念，探索分式的基本性质 能进行分式的四则运算，发展运算能力 会解可化为一元一次方程的分式方程 能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意 识，体会模型思想 我们在数学学习中会遇到诸如 a1 2a ， 8 a-x ， x 2 y 之类的式子，你知道这 些式子与整式有什么区别吗你认为 x（x 2） xy 与 x 2 y 相等吗 你见过类似于 1 x-2 3 x 这样的方程吗你能求出它的解吗 本章将学习分式的概念、性质和四则运算，以及分式方程的解法，并应用 分式方程解决一些简单问题. 20 第二章 分式与分式方程 议一议 做一做 （ 1） 2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计 结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，后 b 天日均参观人数 45 万人，这 （a b）天日均参观人数为多少万人 （ 2）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元，现每册降 价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为 b 元 . 降价销售开始 时，该书店这种图书的库存量是多少 上面问题中出现了代数式 2 400 x ， 2 400 x 30 ， 35a 45b a b 和 b a - x ，它们有什 面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 公 顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前完成原计划的 任务 . 如果设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么 （1）原计划完成造林任务需要多少个月 （2）实际完成造林任务用了多少个月 1 认识分式 1 认识分式 21 么共同特征它们与整式有什么不同 一般地，用 A， B 表示两个整式， A B 可以表示成 A B 的形式 . 如果 B 中 含有字母，那么称 A B 为分式（ fraction），其中 A 称为分式的分子，B 称为分式 的分母. 对于任意一个分式，分母都不能为零. 例1 （1）当 a 1， -2 时，分别求分式 a 1 2a - 1 的值； （2）当 a 取何值时，分式 a 1 2a - 1 的值为零 （3）当 a 取何值时，分式 a 1 2a - 1 有意义 解 （1）当 a 1 时， a 1 2a - 1 1 1 2 1 - 1 2； 当 a -2 时， a 1 2a - 1 -2 1 2 （- 2） - 1 1 5 . （2）当分子的值为零，分母的值不为零时，分式的值为零. 由于 a 10 时，a -1，此时分母 2a -1 0. 所以，当 a -1 时，分 式 a 1 2a - 1 的值为零. （3）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义. 由分母 2a -10，得 a 1 2 . 所以，当 a 取 1 2 以外的任何实数时，分式 a 1 2a - 1 都有意义. 随堂练习 1. 当 x 取什么值时，下列分式有意义 （1） 8 x - 1 ； （2） 1 x 9 . 2. 当 x 0， -2， 1 2 时，分别求分式 2x -1 3x 2 的值. 3. 把甲、乙两种饮料按质量比 x y 混合在一起，可以调制成一种混合饮料 . 调制 1 kg 这种混合饮料需多少千克甲种饮料 22 第二章 分式与分式方程 习题2.1 知识技能 问题解决 1. 下列各式中，哪些是整式哪些是分式 （1） b 2a ； （2） a b 2 ； （3） - x 1 4 - x ； （4） 1 2 xy x 2 y . 2. 当 x 取什么值时，下列分式无意义 （1） x 2x - 3 ； （2） x - 1 5x - 10 . 3. 当 a -1，b 2 3 时，求分式 a - b 4a 3b 的值. 4. 列代数式 （1）水果店购进一箱橘子需要 a 元，已知橘子与箱子的总质量为 m kg，箱子的 质量为 n kg，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元 （2）有两块棉田，第一块 x 公顷，收棉花 m 千克，第二块 y 公顷，收棉花 n 千 克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少 （ 3）一件商品售价 x 元，利润率为 a（ a 0），则这种商品每件的成本是多 少元 你认为分式 a 2a 与 1 2 相等吗 n 2 mn 与 n m 呢与同伴交流. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的 整式，分式的值不变. 这一性质可以用式子表示为 b a b m a m ， b a b m a m （m 0） . 例2 下列等式的右边是怎样从左边得到的 （1） b 2x b y 2xy （y 0）； （2） ax bx a b . 解 （1）因为 y 0，所以 b 2x b y 2x y b y 2xy ； 1 认识分式 23 议一议 在化简 5x y 20 x 2 y 时，小颖和小明出现了分歧. 做一做 化简下列分式 （1） 5x y 20 x 2 y ； （2） a 2 ab b 2 ab . 5x y 20 x 2 y 5x 20 x 2 . 5x y 20 x 2 y 5x y 4x5xy 1 4x . 你对他们两人的做法有何看法与同伴交流. 在小明的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为 最简分式 . 化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式. （2）因为 x 0，所以 ax bx ax x bx x a b . 例3 化简下列分式 （1） a 2 bc ab ； （2） x 2 -1 x 2 -2x 1 . 解 （1） a 2 bc ab abac ab ac； （2） x 2 -1 x 2 -2x 1 （x -1）（x 1） （x -1） 2 x 1 x -1 . 例 3 中， a 2 bc ab ac，即分子、分母同时约去了整式 ab； x 2 -1 x 2 -2x 1 x 1 x -1 ， 即分子、分母同时约去了整式 x -1. 把一个分式的分子和分母的公因式约去， 这种变形称为分式的约分（ reduction of a fraction） 在例 2（ 2）中， 为什么 x 0 24 第二章 分式与分式方程 随堂练习 1. 填空 （1） 2x x - y （ ） （x - y）（x y） （ xy 0）； （2） y 2 y 2 - 4 1 （ ） . 2. 化简下列分式 （1） -14mn 2 k 4m 2 n ； （2） x -y （x -y） 3 ； （3） 4 -x 2 x 2 -2x . 想一想 （1）
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