2019湖南省衡阳市中考数学试卷解析版.doc

2019年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1（3分）的绝对值是（）ABCD2（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax1Bx1C全体实数Dx13（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里A0.65105B65103C6.5104D6.51054（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD5（3分）下列各式中，计算正确的是（）A8a3b5abB（a2）3a5Ca8a4a2Da2aa36（3分）如图，已知ABCD，AF交CD于点E，且BEAF，BED40，则A的度数是（）A40B50C80D907（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A97B90C95D888（3分）下列命题是假命题的是（）An边形（n3）的外角和是360B线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C相等的角是对顶角D矩形的对角线互相平分且相等9（3分）不等式组的整数解是（）A0B1C2D110（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A9（12x）1B9（1x）21C9（12x）1D9（1x）2111（3分）如图，一次函数y1kxb（k0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m0）的图象都经过A（1，2），B（2，1），结合图象，则不等式kxb的解集是（）Ax1B1x0Cx1或0 x2D1x0或x212（3分）如图，在直角三角形ABC中，C90，ACBC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与ABC的重叠部分面积为S则S关于t的函数图象大致为（）ABCD二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.13（3分）因式分解2a28 14（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于 15（3分） 16（3分）计算 17（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 18（3分）在平面直角坐标系中，抛物线yx2的图象如图所示已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4，依次进行下去，则点A2019的坐标为 三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19（6分）（）3|2|tan60（2019）020（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图请结合统计图中的信息解决下列问题（1）这次学校抽查的学生人数是 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人21（8分）关于x的一元二次方程x23xk0有实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2xm30与方程x23xk0有一个相同的根，求此时m的值22（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60已知坡面CD10米，山坡的坡度i1（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度（结果精确到0.1米）（参考数据1.73，1.41）23（8分）如图，点A、B、C在半径为8的O上，过点B作BDAC，交OA延长线于点D连接BC，且BCAOAC30（1）求证BD是O的切线；（2）求图中阴影部分的面积24（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案25（10分）如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB请问MBN的面积是否存在最大值若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由26（12分）如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为以t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小并求出最小值2019年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1（3分）的绝对值是（）ABCD【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答【解答】解||，故选B【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数2（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax1Bx1C全体实数Dx1【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案【解答】解由题意可知x10，x1，故选A【点评】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型3（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里A0.65105B65103C6.5104D6.5105【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解科学记数法表示65000公里为6.5104公里故选C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解【解答】解A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确故选D【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180后与原图重合5（3分）下列各式中，计算正确的是（）A8a3b5abB（a2）3a5Ca8a4a2Da2aa3【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可【解答】解A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（a2）3a6，故选项B不合题意；C、a8a4a4，故选项C不符合题意；D、a2aa3，故选项D符合题意故选D【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键6（3分）如图，已知ABCD，AF交CD于点E，且BEAF，BED40，则A的度数是（）A40B50C80D90【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案【解答】解BEAF，BED40，FED50，ABCD，AFED50故选B【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED的度数是解题关键7（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A97B90C95D88【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可【解答】解将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为86、88、90、95、97，所以这组数据的中位数为90分，故选B【点评】本题考查了中位数的概念将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数8（3分）下列命题是假命题的是（）An边形（n3）的外角和是360B线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C相等的角是对顶角D矩形的对角线互相平分且相等【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可【解答】解A、n边形（n3）的外角和是360，是真命题；B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；故选C【点评】本题考查了命题与定理判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理9（3分）不等式组的整数解是（）A0B1C2D1【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项【解答】解解不等式得x0，解不等式得x2，不等式组的解集为2x0，不等式组的整数解是1，故选B【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键10（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A9（12x）1B9（1x）21C9（12x）1D9（1x）21【分析】等量关系为2016年贫困人口（1下降率）22018年贫困人口，把相关数值代入计算即可【解答】解设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得9（1x）21，故选B【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键11（3分）如图，一次函数y1kxb（k0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m0）的图象都经过A（1，2），B（2，1），结合图象，则不等式kxb的解集是（）Ax1B1x0Cx1或0 x2D1x0或x2【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kxb的解集【解答】解由函数图象可知，当一次函数y1kxb（k0）的图象在反比例函数y2（m为常数且m0）的图象上方时，x的取值范围是x1或0 x2，不等式kxb的解集是x1或0 x2故选C【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题主要考查了由函数图象求不等式的解集利用数形结合是解题的关键12（3分）如图，在直角三角形ABC中，C90，ACBC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与ABC的重叠部分面积为S则S关于t的函数图象大致为（）ABCD【分析】根据已知条件得到ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离a时，如图1S正方形的面积EEH的面积a2t2；当移动的距离a时，如图2，SSACH（2at）2t22at2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解在直角三角形ABC中，C90，ACBC，ABC是等腰直角三角形，EFBC，EDAC，四边形EFCD是矩形，E是AB的中点，EFAC，DEBC，EFED，四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离a时，S正方形的面积EEH的面积a2t2；当移动的距离a时，如图2，SSACH（2at）2t22at2a2，S关于t的函数图象大致为C选项，故选C【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.13（3分）因式分解2a282（a2）（a2）【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可【解答】解2a282（a24）2（a2）（a2）故答案为2（a2）（a2）【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键14（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于5【分析】根据概率公式列出关于a的方程，解之可得【解答】解根据题意知，解得a5，经检验a5是原分式方程的解，a5，故答案为5【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比15（3分）【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案【解答】解原式32故答案为2【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般16（3分）计算1【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果【解答】解原式1故答案为1【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键17（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是6【分析】易得正三角形的中心角为120，那么中心角的一半为60，利用60的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长【解答】解如图，圆半径为6，求AB长AOB3603120连接OA，OB，作OCAB于点C，OAOB，AB2AC，AOC60，ACOAsin6063，AB2AC6，故答案为6【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键18（3分）在平面直角坐标系中，抛物线yx2的图象如图所示已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4，依次进行下去，则点A2019的坐标为（1010，10102）【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为yx2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标【解答】解A点坐标为（1，1），直线OA为yx，A1（1，1），A1A2OA，直线A1A2为yx2，解得或，A2（2，4），A3（2，4），A3A4OA，直线A3A4为yx6，解得或，A4（3，9），A5（3，9），A2019（1010，10102），故答案为（1010，10102）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19（6分）（）3|2|tan60（2019）0【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案【解答】解原式8219【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图请结合统计图中的信息解决下列问题（1）这次学校抽查的学生人数是40；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；（3）用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得【解答】解（1）这次学校抽查的学生人数是123040（人），故答案为40人；（2）C项目的人数为401214410（人）条形统计图补充为（3）估计全校报名军事竞技的学生有1000100（人）【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答21（8分）关于x的一元二次方程x23xk0有实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2xm30与方程x23xk0有一个相同的根，求此时m的值【分析】（1）利用判别式的意义得到（3）24k0，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x23x20解得x11，x22，把x1和x2分别代入一元二次方程（m1）x2xm30求出对应的m，同时满足m10【解答】解（1）根据题意得（3）24k0，解得k；（2）k的最大整数为2，方程x23xk0变形为x23x20，解得x11，x22，一元二次方程（m1）x2xm30与方程x23xk0有一个相同的根，当x1时，m11m30，解得m；当x2时，4（m1）2m30，解得m1，而m10，m的值为【点评】本题考查了根的判别式一元二次方程ax2bxc0（a0）的根与b24ac有如下关系当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根22（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60已知坡面CD10米，山坡的坡度i1（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度（结果精确到0.1米）（参考数据1.73，1.41）【分析】过D作DGBC于G，DHAB于H，交AE于F，作FPBC于P，则DGFPBH，DFGP，求出DCG30，得出FPDGCD5，CGDG5，求出DFGP10，证出DAF30ADF，得出AFDF10，得出FHAF5，因此AHFH105，即可得出答案【解答】解过D作DGBC于G，DHAB于H，交AE于F，作FPBC于P，如图所示则DGFPBH，DFGP，坡面CD10米，山坡的坡度i1，DCG30，FPDGCD5，CGDG5，FEP60，FPEP5，EP，DFGP51010，AEB60，EAB30，ADH30，DAH60，DAF30ADF，AFDF10，FHAF5，AHFH105，ABAHBH10551551551.7323.7（米），答楼房AB高度约为23.7米【点评】此题是解直角三角形的应用仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键23（8分）如图，点A、B、C在半径为8的O上，过点B作BDAC，交OA延长线于点D连接BC，且BCAOAC30（1）求证BD是O的切线；（2）求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出COA，根据三角形内角和定理求出OCA，根据切线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得到30，解直角三角形求出BD，分别求出BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案【解答】（1）证明连接OB，交CA于E，C30，CBOA，BOA60，BCAOAC30，AEO90，即OBAC，BDAC，DBEAEO90，BD是O的切线；（2）解ACBD，OCA90，DCAO30，OBD90，OB8，BDOB8，S阴影SBDOS扇形AOB8832【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中24（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x10）元，根据数量总价单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案【解答】解（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x10）元，依题意，得，解得x5，经检验，x5是原方程的解，且符合题意，x1015答购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80m）个，依题意，得，解得15m16m为整数，m15或16商店有2种购买方案，方案购进A商品65个、B商品15个；方案购进A商品64个、B商品16个【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组25（10分）如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB请问MBN的面积是否存在最大值若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设OPx，则PB3x，由POECBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；（3）过点M作MHy轴交BN于点H，由SMNBSBMHSMNH即可求解【解答】解（1））抛物线yx2bxc经过A（1，0），B（3，0），把A、B两点坐标代入上式，，解得，故抛物线函数关系表达式为yx22x3；（2）A（1，0），点B（3，0），ABOAOB134，正方形ABCD中，ABC90，PCBE，OPECPB90，CPBPCB90，OPEPCB，又EOPPBC90，POECBP，，设OPx，则PB3x，，OE，0 x3，时，线段OE长有最大值，最大值为即OP时，线段OE有最大值最大值是（3）存在如图，过点M作MHy轴交BN于点H，抛物线的解析式为yx22x3，x0，y3，N点坐标为（0，3），设直线BN的解析式为ykxb，，，直线BN的解析式为yx3，设M（a，a22a3），则H（a，a3），MHa3（a22a3）a23a，SMNBSBMHSMNH，，a时，MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为（）【点评】本题考查了二次函数的综合题熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键26（12分）如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为以t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小并求出最小值【分析】（1）当BQ2BP时，BPQ90，由此构建方程即可解决问题（2）如图1中，连接BF交AC于M证明EF2EM，由此构建方程即可解决问题（3）证明DEAC即可解决问题（4）如图3中，连接AM，AB根据ABAMMB求解即可解决问题【解答】解（1）ABC是等边三角形，B60，当BQ2BP时，BPQ90，6t2（6t），t3，t3时，BPQ是直角三角形（2）存在理由如图1中，连接BF交AC于MBF平分ABC，BABC，BFAC，AMCM3cm，EFBQ，EFMFBCABC30，EF2EM，t2（3t），解得t3（3）如图2中，作PKBC交AC于KABC是等边三角形，BA60，PKBC，APKB60，AAPKAKP60，APK是等边三角形，PAPK，PEAK，AEEK，APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC，PKDQCD（AAS），DKDC，DEEKDK（AKCK）AC3（cm）（4）如图3中，连接AM，ABBMCM3，ABAC，AMBC，AM3，ABAMMB，AB33，AB的最小值为33【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题